0 向量究竟是什么

这是一个很神奇的问题, 就像 为什么代表面前只有这样一堆东西一样. 对于我们来说, 一个 维的向量想要在空间中指出它的位置太难了, 空间是一个虚无缥缈的东西, 而若是将其写作 , 那么一个虚无缥缈的箭头立刻就显得可供计算, 变得可视了.

然而, 这似乎有些太过依赖坐标系(或是基的选择), 以及我们脑海中对于空间的想象.

来到行列式与特征向量, 它们所表达的对象本身并不随着坐标系而改变, 它们反应的都是空间本身的性质

因此, 用实数来表示向量确实能够较为形象地从一个角度来体现空间, 但是用实数表示向量却也磨灭了向量其空间性(但是不可否认的是, 坐标表示空间无疑是一种无可替代的方法)

1 函数与向量的关系

为方便起见, 函数与向量的维数均为2

考虑两个向量 和 , 以及两个函数() 和

与向量加法相同, 函数也可以直接相加: ; 而当 , 时, 有

容易发现函数的数乘与向量数乘也是一样的

由此, 向量与函数都已具备了线性性, 那么我们大胆推测: 向量中诸如零空间, 点积等所有具备向量特征的概念都可以被应用于函数上

下面举一个函数的线性变换的例子: 求导

对于 , , 显然要是用线性代数基础(因为不用去看所以就不放链接了)中原仍原, 直仍直来判断函数变化是否是线性的显然有些抽象, 这就不得不搬出不那么喜闻乐见的线性严格定义了:(嫑紧张, 之前些许略微出现过, 且一般化的东西适用性更为广泛)

对于线性变换, 其定义为:

其中 为任意线性变换, 等式恒成立, 其实就是所谓的可加性与数乘性(这两个词其实是现造的🙃), 而前文中所提到的平行等距分布其实是这个性质的一种特殊体现

回忆一下, 这两个性质最重要的推论莫过于用线性变换对基向量的作用来充分描述该线性变换, 从而发展出矩阵向量乘法, 原理很简单, 目标向量与基向量的线性关系不与线性变换本身有关

通过高中的学习, 我们可以感知到, 对象为函数的线性变换(如求导), 也符合上述定义, 如

接下来, 我们尝试使用矩阵来描述求导的过程

想要使用线性代数的思想来描述空间, 逃不掉的一个过程便是选取基底. 不妨回忆一下, 坐标系中我们选取的基底的作用是通过线性组合来表示其他向量, 且基底间无法互相线性组合表示出其他基底. 根据这个要求, 再联想到函数可以表示为自变量不同次幂的线性组合, 我们便可以很自然地想到使用自变量的不同次幂作为基底, 展开说, 那么 . 且与空间维数可以无穷高, 基向量也可以有无穷多个类似, 该处的基底也可以有无穷多个

那么这时候, 我们就可以用这些基底来表示函数了, 举个例子, 对于 , 其可以表示为

而对于求导所对应的线性变换, 其可以表示为:

先来验证一下: , 所对应的函数就是

这就很神奇, 将求导与矩阵两个看似毫不相干的东西连接在了一起, 虽然目前还不了解, 但是许多线性代数中的概念与函数中的概念其实本质上是一样的, 如线性变换与线性算子, 点积与内积, 特征向量与特征函数

因此, 向量究竟是什么?或者说, 究竟什么是向量? 我们可以认为, 只要符合线性的定义的对象, 其都应满足向量所具备的性质, 向量, 不仅仅是箭头, 更是一套代表一类运算法则的工具, 其将抽象的空间模型推广至其他类似向量的事物, 使许多概念得以具备线性运算的普适性

2 向量空间

2.1 向量空间的提出与作用

要是看懂了上文中的概念, 就可以很容易地理解向量空间的概念了: 向量空间指的就是以上这些类似向量的事物如箭头, 数, 函数等所构成的集合, 它以形式简单的向量为表达基础, 规定了一套线性运算法则, 大大简化了将线性运算性质推广至其他向量空间的过程, 以及证明某一向量空间的某一性质的过程, 而线性性则是其中的桥梁, 在向量之上, 衍生出了各种其他的概念, 并被应用至不同领域, 这也就是为什么线性代数使用如此广泛的原因. 向量只是线性代数的门面与代名词, 其背后线性运算法则与性质才是真正的核心

举个例子, 就如同数字 (其实是每个数字, 这个是随机数按到的), 它可以表示可以代表 个平行宇宙中的 , 可以表示一个集合中有 个元素, 也可以表示一个空间有 个维度, 虽然对象不同, 但它们均属于 所定义的集合中

对于数学家们, 再也不用为了奇奇怪怪的人所提出的奇奇怪怪的向量空间而频繁解释或打补丁; 对于奇奇怪怪的人所提出的奇奇怪怪的向量空间, 再也不用费尽心思将该向量空间与传统向量空间中的概念进行一一对应, 只需满足线性性便能得到学术认可

2.2 适用于向量空间的条件

这些条件事实上也是 条公理(显然不用证明, 但真要证明很难的那种): 其中 表示向量空间的元素

• ,
• 对于 ,

这感觉是整个线性代数学习过程中最抽象的(次之的是基变换那一章), 但这里介绍的东西也是最普适的, 毕竟普适的代价是抽象. 不知道接下来会在哪里学习偏向应试的线性代数, 但我相信, 这些笔记, 定将助我, 也助此刻看完这些笔记的你, 学通线代, 不被吓跑!

下一步学什么? 要换电脑了, 顺便把大学生换电脑指南整出来吧 另外微积分也在计划之中, 在此之前再补一篇克莱姆法则的笔记