0 积分与求导的关系

事实上, 积分与求导互为逆运算这个关系似乎是显而易见的, 我们使用对 关系求导的方法求出了瞬时速度, 那么当我们知道每时每刻的速度与时间后自然而然将速度累积起来就得到了路程. 只不过由于速度在自然状态下每时每刻都在变化, 因此我们需要取极短的一段时间内的速度来代替这段时间内的平均速度, 再与这段时间相乘, 进而得到这段时间的近似路程, 而时间取得越短, 平均速度更接近瞬时速度, 求出的路程也更接近实际路程

举个例子, 从汽车加速再减速到 期间速度函数是 , 那么我们将 分割成许多小份, 比如 , 并取每秒初的速度来代替该秒的平均速度, 由此可以计算出近似路程为

那么如果取每 呢?

再精确一些, 取 ,

由此我们可以发现, 随着时间的选取逐渐精确, 答案也逐渐收敛, 由此我们猜测, 当时间选取足够小的时候, 总路程的极限存在, 而这个极限就是汽车实际路程

从图像上也能感觉到, 当长方形的宽足够小的时候, 其就能够与实际二次函数图像相契合, 那么最终, 我们只需要将这些小长方形面积加起来就好了

对于这个特殊的累加, 我们用 符号来表示, 其中 分别代表自变量范围, 比如在上面的例子中, 我们用 来表示 的路程累加, 这里无须将时间 写出, 原因是完整写法是 , 代表 是需要取趋近于 的变量

这里之所以不用 , 是因为其表示离散数据相加, 而上文中我们需要表示的是连续变量累加, 且结果并不是一个具体的和, 而是表示 在趋近于 的过程中, 其加和所趋近的值

到这里我们还没有解决小标题中的问题, 对于这个问题, 我想要逆推, 即: 对于 函数的积分结果 , 其导函数是什么?

我们还是用最底层的导数的定义来研究: 对于这个函数, 在自变量 增加了 后, 是什么? 换个角度想, 在积分的过程中, 每增加一个宽度为 的小长方形之后, 增加的是小长方形的高度, 即 本身, 那么 就是小长方形的面积, 即 , 那么该函数的导数其实就是 . 换句话说, , 由此我们便知道了, 一个函数求导再积分后就是其本身, 即: 求导与积分互为逆运算

1 如何积分

那么另一个问题又来了: 我们已经知道 的导函数是 了, 那么该如何逆推出 的表达式呢? 我们将 拆开来看, , 什么东西求导后是 ? 我们知道, , 那么根据导数的线性关系, , 同理可以知道 , 那么 ? 别忘了, 常数项求导后为 , 因此 , 现实中的确如此, 初始路程不影响相对路程

有了 的表达式, 我们就可以求出 的路程了: 直接用 时的累积路程减去 时的初始路程即可, 即 , 与我们上文中逐渐减小时间精度时所求得的大致相符

总结一下积分过程, 它并没有像想象中的那样使用极限近似思想, 而是求了一个看似与目标不太相干的原函数(即求导前的函数, 这一步也被称为反求导或不定积分), 并使用端点值相减, 十分优雅地求出了累计值, 这也就是所谓的牛顿-莱布尼茨公式

值得一提的是, 我并没有在端点值相减推导部分站开太多, 一部分是因为我觉得这比较好理解, 本质上是 个固定起点开始的累积值的相减求出中间部分, 另一方面这与之前学过的信奥学中的前缀和预处理手段也有异曲同工之处

2 连续函数的区间上的平均值

正常来说, 我们只听说过离散数据的平均值, 对于包含无数个点的连续数据, 若平均值存在意义, 该如何求平均值?

可能会想到在这个区间上取有限个点, 然后计算离散平均值. 同时若取的点数量足够多, 得到的平均值与真实平均值的误差会越来越小.

由此我们大概感知到了积分在这里的应用: 将区间内所有点的值累加, 不就是积分的过程吗? 最后再除以点的个数, 不就是除以区间长度

吗? 当点的数量是 时, 我们就已经除以 了, 现在有无数个点, 难道说除以 趋近于 吗?

我们知道, 当点个数足够多且覆盖整个区间时, 我们可以认为小区间长度是 , 那么小区间个数就是 , 这样似乎可以计算了, 平均数就是

注意: 积分符号后有的时候会跟上 而有的时候没有, 是因为若跟上 , 则其代表所累积的量是 , 是一块面积, 这也是大多数情况下我们需要的; 而在求平均值的过程中, 我们最初要累积的量是函数值, 即 , 而非面积, 所以不用跟上

让我们拿 举例, 并尝试求出其 的平均值. 首先我们要求出原函数, 我们知道 , 则 的原函数 , 则平均值就是

但是有人会有疑问: 不对啊, 我在物理里学到的正弦交流电的平均(有效)值是 啊, 怎么这里是那么奇怪的一个数字? 事实上, 这里的有效值是通过一个周期内等效发热量来计算的, 其公式为 , 再对时间积分, 即 (为方便演示, 未考虑实际交流电的周期与频率, 但不影响结果), 其中 可以约掉, 剩下的 的原函数为 (具体怎么求出来的后面可能会学不定积分常用公式), 则等号左边等于 , 则

3 高阶导数

理论上这一章应该放在导数拿各章节的

俗话说, 一导看变化, 二导看凹凸, 三导…

在经过之前的学习后, 我们发现单论一导是合理的, 导数的正负反映的是斜率, 若斜率是负的, 那么下一个瞬间函数一定是往下走的, 反之亦然

那么再用这个想法考虑二阶导, 若二阶导为负, 那么这个函数的一阶导数就是下降的, 那么函数有可能斜率为正逐渐变平, 这种情况就是凸函数

二阶导的符号是 , 但也有简写:

那么为什么是这个符号呢? 还是从导数的定义出发, 一阶导是取 , 并计算对应的 , 那么二阶导其实就是取两个 , 先算出 , 再计算 然后再比上 , 因为前后两次是等比关系, 此时比值的极限就是对应的二阶导

那么二阶导在实际生活中有什么应用? 最普遍的例子就是它可以根据路程时间图像计算出加速度时间图像; 再进一步, 其三阶导所反映的物理量是急动度, 若急动度为 , 则代表汽车在做均加速运动

但是在大多数情况下, 高阶导的作用是帮助我们得到函数的近似, 详见泰勒级数