线性代数学习笔记——克莱姆法则的几何理解

0 克莱姆法则的应用

与先前不同, 克莱姆法则的应用也许更贴近生活

在与卡西欧计算器朝夕相处的日子里, 其解线性方程组的速度让我大为惊叹(其实和其他大部分计算一样肉眼看起来都是秒出), 计算机(器)解方程组如此快的原因便是它们没有比较式子并消元的过程, 而是将线性方程组的求解过程化为了纯数值计算的过程, 这样的计算过程的依据就是克莱姆法则(也可能是高斯消元, 但是在这篇文章里依靠的就是克莱姆法则🙃因为其能够被从几何方向上解释)

1 克莱姆法则的几何解释

原则上, 大多数 个未知数 个方程 的方程都有唯一实数解, 我们不妨从维数较低的情况开始

考虑方程组:

用矩阵表达这一过程就是:

此时求解的过程就变为了求输入的 , 使得对其施加线性变换 后, 得到的是目标向量

简单提一下, 但不是这里的重点, 这里的 若不满秩, 则会出现无解或无穷解的情况, 取决于目标向量是否在压缩后的空间中, 具体见列空间与零空间, 下文中若无特别说明, 均满秩

也许注意力惊人的你想到了, 对于变换前, , 只要使变换后仍旧满足目标向量 , 就可以直接算出 , 而遗憾的是, 点积是为数不多会随着坐标系改变而改变的量

不过思路还是可行的, 有一类变换, 在变换后点积的结果不变, 我们称之为正交变换, 其使得基向量在变换后长度不变且仍然垂直, 但是行列式可能不等于 , 原因是其允许对空间进行翻转, 从而使得变换后成为左手系

这时候点积的结果就同时适用于变换前后的两种坐标系了, 虽然这个变换对于大多数情况都不适用

然而解决问题从来没有一步到位, 而是逐步突破. 我们转而寻找一种变换后仍能保持不变的对于输入向量的几何解释

这时候聪明的你想到了: 用一个**以 为底, 为高的四边形的有向面积来表示 的值(即 是一个突破口(说实话, 在刚刚听到这里的时候我根本想不通为什么会有人想到这个方向)

需要注意的是, 这里是有向面积, 且正负与 值的正负相同, 原因是以 为底

同理, 也可以表示为一个以 为底, 为高的有向面积

同理, 在三维空间中, 可以用一个以 和 组成的平行四边形为底, 为高的一个平行六面体的有向体积 来表示 的值

与点积不同, 当用行列式来表示坐标时, 前后行列式的比值不随坐标系的变化而变化, 我们成功地找到了一个不变量

设面积为 , 我们可以得到 , 同理

那么现在的问题就转化为了如何计算变换后的面积, 模仿变换前平行四边形的构造, 考虑到变换后的平行四边形是由目标向量与新的对应基底所形成的, 那么我们可以构造新的矩阵(拿 对应的平行四边形举例):

由此我们可以知道 , 同理 , 这样我们就推出了克莱姆法则

至此, 线性代数学习笔记(几何解释)正式完结撒花.