高等数学学习笔记——极限!
高等数学学习笔记——极限!
Kanwuqing其实在写这篇笔记之前, 我对极限已经有了一定的感受与理解,
相信正在读这篇博客的你也是. 但是问题是,
我们需要像教科书那样严谨地定义极限究竟是什么,
而不是单纯说好像是越来越逼近于某数.
且我们要给出一个合理且严谨的判定方式来客观判断一个式子的极限是否真的存在,
而不是每次靠不断去越来越小的数感觉是存在的
本篇笔记会给出所谓的 \(\varepsilon-\sigma\) 定义, 但勿惊慌, 放心食用
1 导数的标准定义
在导数那篇笔记中我们了解到导数之所以能和切线产生联系,
是因为其利用了无穷小,
即要多小有多小这个强有力的工具, 因此,
我们比需要在平均变化率的公式前加上一个 \(\lim_{dx \to 0}\)
来使这个式子表达的是切线的斜率
然而, 在公认的导数表达式中, \(\lim\) 与 \(d\) 并不同时出现, 具体地: \(\frac{df}{dx}(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\), 原因是通常情况下, \(d\) 就已经代表了将某个值取无穷小的意思
2 极限的定义
同样的, 我们这里用导数的表达式来举例, 考虑 \(f(x)=x^2+2x\), 其在 \(x_0\) 处的导数值为 \(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\), 单看分子分母, 在 \(\Delta x \to 0\) 时分子分母似乎几乎都是 \(0\), 整体是一个形如 \(\frac{0}{0}\) 的分数, 这是在学习高数之前从未被定义过的一个东西, 然而我们知道这个数它确实存在, 原因是反分母没法真的取到 \(0\). 为了方便解释, 我们取 \(x_0=2\), 那么代入式子后就是 \(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{8\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}=8\)
那么极限究竟是什么呢? 简单来说, 函数在某一个点的极限指的是其在该点没有定义的时候(有定义的时候极限都不用取就是该点的函数值)函数逐渐靠近该点时函数值逐渐靠近的值, 而当左右分别靠近时函数值趋近的值不同, 则称该点极限不存在, 如下面这个函数:
\[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} -x^2+1 & \quad x<0 \\ x^2+2 & \quad x>0 \end{aligned} \right. \]
由此, 我们已经感受到了, 当极限存在的时候, 我们可以将自变量取值范围任意缩小, 而函数值会逐渐缩小到一个确定的值上; 相反, 若极限不存在, 那无论我们如何缩小自变量的取值范围, 也无法将函数值缩小到一个确定的值上
而在数学中, 我们通常将当前函数值与目标确定值之间的距离称为 \(\varepsilon\), 且这段距离要多小有多小, 而将当前自变量与目标自变量取值之间的距离称为 \(\delta\), 而极限的定义就是: 对于 \(x_0 \in D, \forall \varepsilon > 0\), 总 \(\exists \delta, s.t. |f(x_0)-\lambda|<\varepsilon, |x-x_0|<\delta\), 则称 \(\lambda\) 为函数在 \(x_0\) 处的极限, 反之极限不存在
3 极限的计算
考虑阻尼函数 \(f(x)=\frac{sin(\pi x)}{x^2-1}\), 显然该函数在 \(\pm 1\) 处无定义, 且显然该函数为奇函数, 那么我们不妨考虑函数在 \(x_0=1\) 处的极限
将 \(x=1\) 带入, 我们发现分子和分母都是 \(0\), 那么有什么方法能够处理形如 \(\frac{0}{0}\) 的极限呢?
既然导数是通过极限来定义的, 那么其能不能反过来帮助极限的求解呢? 答案是肯定的
让我们将目标函数, 分子与分母上的函数画在同一张图里: 
我们先来分别考虑上下两个函数在 \(x=1\) 时的变化量. 对于 \(g(x)=sin(\pi x)\), \(dg=\pi cos(\pi x)dx\), 同理对于 \(h(x)=x^2-1\), \(dh=2xdx\), 带入 \(x=1\), 可得 \(dg=-\pi dx, dh=2dx\), 也就是说, \(dg, dh\) 分别和 \(dx\) 在 \(1\) 处成比例, 所以我们可以认为对于距离
\(x_0=1 \quad dx\) 的点 \(x_1\) 来说, \(f(x_1)\) 的值大约就是 \(\frac{dg}{dh}=-\frac{\pi}{2}\),
且对于这个式子, \(dx\) 取得越小,
其值就越精确, 由此, 我们可以知道 \(dx\)
充分小的时候, \(1\) 处的极限值就是
\(\frac{\pi}{2}\).
这个上下分别求导再相除求极限的方法称为洛必达法则
接下来我们不再拘泥于具体函数, 而是将眼界拓宽, 考虑一个函数 \(\phi(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\), 其中 \(f(x_0)=g(x_0)=0\), 函数均可导, 即函数经过无限放大后可认为是直线
假设 \(x_0\) 处极限存在, 则在与 \(x_0\) 相距 \(dx\) 处的 \(f(x_0), g(x_0)\) 近似就是对应的导数值, 原因是可近似视作直线, \(\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}=\frac{f(x_0+dx)}{dx}=\frac{df}{dx}\), 则 \(f(x_0+dx)=df=f^\prime(x_0)dx\), \(g(x_0+dx)\) 同理, 则 \(x_0\) 处的极限值 \(\frac{f(x_0+dx)}{g(x_0+dx)}=\frac{f^\prime(x_0)}{g^\prime(x_0)}\), 这也就是洛必达法则能应用于 \(\frac{0}{0}\) 型的原因
事实上, 洛必达法则是由伯努利发现的, 但是洛必达比较有钱, 买下了这个发现的冠名权
