0 基变换
0.1 基变换的运算
如标题所指, 我们来研究对于同一个向量, 如何将其用不同的基向量表示
在线性代数基础中,
我们知道, 不同基向量的选择会导致空间网格方向和间距的变化,
其中不变的是空间原点的位置, 其表示任何向量与 相乘后的向量的位置
举个例子, 用 和 表示一个二维空间( 系), 另一个人 用 和 表示一个二维空间( 系), 那么在 看来, 向量 ,
在 看来, , 因此,
系中的向量 在
系中的表示为
敏锐的人已经发现了, 上述过程不就是将 系变换至 系的线性变换 作用于 上吗? 可是问题来了:
这个变换(矩阵)做的事情是将
系变换至 系, 而其结果却显示的是将
系中的向量用 系来表示, 二者是不是反掉了?
事实上, 我们将变换应用于 的过程其实是直接将误解的 变换至其应在的空间位置;
而坐标变换与基变换本身是两个相反的变换,
我们可以说这个矩阵将
系变换至 系, 也可以说其将 系中的向量用 系来表示, 不妨验证一下:
对于 ,
我们有 ,
得到
0.2 基变换的逆运算
上述是将 系中的向量用 系来表示, 那么反过来呢?
其实就是将变换的逆运算作用于已知向量, 即将矩阵取逆
0.2 基变换的延伸
现在不只将目光拘泥于两个系之间的向量变换, 我们来考虑: 若是将 系逆时针旋转 (其实是作用一个任意线性变换
),
那么对应的向量坐标会发生什么变化?
也许有人会说那直接计算 不就好了, 但事实上,
中记录的所有坐标仍旧是 系下的,
上述做法显然不正确, 我们只得到了
系下基向量旋转后的坐标, 而不是
系下旋转后的坐标, 因此, 最后一步显而易见, 即乘以
写成式子就是:
此时 这个线性变换就是
系中作用 变换的结果(特别地, 的定义仍在 系下, 若定义在 系下, 则 )
因此在形如 的结构中,
其反应的是一种转移作用, 其将常见的 变换转移到了一个新系中
