线性代数学习笔记——向量叉积

试一下亮绿色主题色, 看看会不会有啥变化

前置: 行列式

前置: 向量点积/对偶性

0 向量叉积基础

0.1 二维向量叉积的意义

在二维空间中, 表示 其张成的平行四边形的面积, 其中值的正负的判断与行列式的符号判断一致, 若 与 满足右手定则, 即右手大拇指指向 的方向后, 食指能够指向 的方向, 那么 的值为正, 否则为负

0.2 二维向量叉积的计算

当我们要计算 与 张成的面积时, 我们不妨将二者看作新的空间基向量, 此时所求值即为行列式 的值

1 向量叉积

如你们所见, 上文中的”叉积”和所谓的行列式计算没有任何本质上的区别, 真正的叉积的结果并不是一个数, 而是一个向量, 只不过, 其与上文中的”叉积”的结果关联紧密——其模长等于”叉积”的值, 且与做叉积运算的两个向量所在的面垂直

然而这样的向量一共有两个, 朝向相反, 此时再掏出右手, 并伸出拇指食指和中指, 然后有很多种判断方式, 比如 - 用拇指指向 的方向, 食指指向 的方向 - 用食指指向 的方向, 中指指向 的方向 - 无论如何, 保证表示叉积的后者的手指顺序在表示叉积前者的手指之前(拇指先于食指先于中指)

此时剩下的一根手指指向的就是叉积向量的方向

至于为什么二维向量的叉积结果只是一个数字, 这是因为在二维空间中, 显然没有向量符合上述定义, 故而退化为一个值

1.1 向量叉积的计算

要计算叉积, 和行列式的计算仍脱不开联系, 只不过我们需要加一行(列)特殊的行(列), 举个例子, 考虑 与

那么为什么要用行列式的计算方式来计算叉乘结果?为什么叉乘结果的模长等于”叉积”的值?为什么叉乘结果的向量与做叉积运算的两个向量所在的面垂直?这些问题不可避免都需要从几何角度来理解(当然也可以暴力计算证明)

2 向量叉积的几何意义

我们尝试使用对偶性来理解向量叉积的几何意义

理一下思路:首先我们需要根据 和 来定义一个三维到一维空间的线性变换 , 并找到该变换的对偶向量, 进而说明该对偶向量就是 的结果, 从而证明上文的一些问题

首先, 定义函数 , 不难证明 是一个线性函数, 那么其对偶向量一定存在.

先来考虑 的几何意义, 即任意向量与 形成的平行六面体的体积

再考虑其对偶向量, 其对偶向量 应满足

将式子两边展开后, 可以得到

但是问题依旧没有得到解决: 这计算中代表的是什么意义?

我们从几何角度考虑, 对于一个向量 , 其与任意向量点乘的结果都等于该任意向量与 和 张成的平行六面体的有向体积

我们不妨分开看: 对于点积, 我们是将任意向量 投影到 上, 再乘以 的模长; 对于平行六面体体积, 我们是先算出底面的面积, 再乘以高, 其中高等于 在垂直底面方向上的投影的有向长度, 对比二者, 我们可以很惊奇地发现, 要使两个操作等价, 的模长必须等于底面的面积, 且其方向必须与底面垂直, 且二者的方向性恰好约束了 的方向的唯一性, 则我们在上文中计算得到的 就是我们要找的叉积的结果