警告: 本文可能包含大量不规范的物理术语以及物理思想
1 情境引入与描述
做题的时候, 遇到一道形如
最小值的问题, 其中
是平面上固定的两点, 点在 轴上
如果没有
前这个系数, 那么这就是一道很简单的几何题, 但是有了这个系数, 就很烦,
当然这道题可以设出坐标, 用两点间距离公式列出函数解析式硬导, 发现驻点为1,
但是显然有更为优雅的做法
2 考虑简单情况 (无系数)
不妨设想一下当没有系数的情况, 我们可以找点 关于定直线 (此处为 轴) 的对称点 , 那么 ,
这时问题就转化为了求
的最小值, 常识告诉我们当且仅当 三点共线时上式的值最小,
这可以用三角形三边关系等轻易证明,
但我们要考虑的是从光学角度来看这个问题, 当一束光从
点出发, 在介质相同的条件下,
其达到B点的路径必为线段 ,
费马原理提出,
光从一点到另一点总是沿着时间最短的路径传播, 两点之间,
线段最短, 那么就很好的证明了上述常识中的结论
3 拓宽
我们尝试拓宽至题目中的情形,
显然在这个状态下传播路径不再是直线, 反证法易证.
在未加权的版本中, 介质相同 (不妨设均为真空, ...
1 空间的引入
此空间指的是一块面积或体积,
而非坐标系空间
在线性变换中, 我们认识了许多不同的线性变换,
并从几何层面直观地理解了它们. 其中,
我们可以发现大部分线性变换中网格大小发生了变化, 换言之,
空间都发生了变形.
举个例子, 考虑一个线性变换 , 如图, 网格显然变大了:
再举个例子, 考虑一个线性变换 , 如图, 网格显然变小了:
图文可能不是完全匹配, 但可以大致看出网格的变化
2 行列式
2.1 行列式的引入
那么, 我们该如何计算空间究竟变化了多少呢?
线性变换章节中,
我们通过矩阵计算给定向量经过线性变换后的坐标
那么对于空间的大小, 我们自然想到, 同样可以定义一种运算方式,
使得对于给定的变换前的空间大小,
可以计算变换后的空间大小, 而这就是行列式的由来
2.2 行列式的推导
我们不妨从简单的例子出发, 考虑一个线性变换 , 并聚焦在原先由 和 围成的正方形上.
经历变换后, 和
围成的变成了一个长为3, 宽为2的矩形,
面积变为原来的6倍
还记得之前我们提到的线性变换的定义吗?
线性变换是保持线性关系的变换, 即直仍直,
原仍原, ...
1 线性变换
1.1 变换
所谓函数, 不过是一种变换. 更具体一点,
我们可以认为: 函数 变换
映射; 函数是数集
(的子集)到数集(的子集)的映射,
而变换是自身到自身的映射
考虑函数 , 他接受一个参数
, 其中 ,
并输出唯一的结果,
是一一对应的关系.
变换亦是如此, 只是自变量不再拘泥于数集.
对于线性变换, 其将向量 作为自变量,
并输出向量.
变换一词在暗示你用运动的思维去思考.(引用自3B1B)
线性代数中的变换即是自身为向量的变换.当所有向量都按照一种方式运动,
所得结果即为变换的结果.(怎么像一句废话🙃)下图分别为普通线性变换,
复变函数(将复数
视作复平面内的向量 )
有人可能会问: 诶为什么函数也写在变换里呢?上文提到过,
函数可以看作是特殊的变换,
只不过其自变量和因变量都是数而已, 而复数可以视作向量,
因此复变函数也可以视作线性变换.
1.2 线性变换
若我们要在一个变换上添加线性这一特性,
其需要符合直仍直, 原仍原, 即:
直线在变换后仍为直线, 不能弯曲
原点在变换后仍为原点, 不能移动
举个例子, 考虑下图中的变换: ...
写在前面
首先对于在现代学习过程中给予我莫大帮助的 3Blue1Brown
(3B1B) 表示诚挚的感谢!
其次明确此系列博文的目的: - 不同于对于大学线代课程的预习,
这些文章的目的主要在于揭示线代的简明性,
并在前人的基础上加以自己的理解,
从而尝试提出更为初等的理论 -
是对于3B1B视频的理解以及自己的总结,
并在某种程度上减少今后再次查阅视频所消耗的时间
最后声明
若未特殊说明，本文所提到的一切概念默认在二维/三维直角坐标系中
本文属于学习笔记范畴，请确保文章仅用于学习交流目的，对于其中内含的3B1B视频中的结论、观点以及截图，若有侵权请联系删除
0.线代环境
0.1 线代应用方面
很多人(包括我自己)跟着教材初学线代时对于线代这个东西的作用一头雾水,
极为抽象的概念(如行列式, 矩阵, 特征值等)连珠炮似的砸过来,
很容易造成只会计算却不懂得应用的情况.
线代归根结底依旧是工具,
因此在学习之初明确其应用场景就显得尤为必要
简而言之, 线代较为广泛地被应用在: - 计算机科学
(主要是人工智能训练架构中) - 物理学
(主要是发挥矢量相关作用) - 数学
(主要是多维数据 ...
1. 情景引入
在现代校园生活中,
快递服务已成为师生不可或缺的部分假设我们需要在校园内设立一个快递站,
服务于校内的学生
提出问题
驿站选点能否让大部分师生在日常生活中大概率经过至少一次
如何选点, 使得从校园内所有需求点出发, 抵达驿站的总取件路程最小
若要求每个需求点到达驿站的距离最远不超过 , 最少需要设置多少个驿站？
考虑通行时间以及人流关于时间的分布,
如何使得师生等待时间尽可能少？
上述问题中, 考虑可行性, 选择问题2与问题4
2. 数学理想化加工
面对复杂的校园环境, 我们首先进行合理的简化与假设:
道路网络简化:
校园主干道构成一个连通无环的网络,
即任意两个路口之间只有唯一一条路径
站点位置限制:
快递站必须建立在路口(节点)上, 而非道路中间
路径行为: 学生文明有道德,
即沿着道路行走, 不能穿越建筑或草坪
需求分布:
每个宿舍区的学生人数可以归属于其最近的路口,
即每个路口设置一个需求权重,
这个数值可以通过调查宿舍区名单等轻易获得
一些其他现实细节
只考虑平面移动距离
只考虑从需求点前往驿站的时间, 不考虑后续返回的时间
将所有人步行速度视为相同 ...
Manim学习笔记
本文仅讨论Manim社区版的使用
1. 安装
他讲得比我好,
绝对不是我懒得写
Linux/Mac 见自行搜索各自的安装教程
(都用Linux/Mac了相信至少已经不是小白级别的了),
一般来说cairo pango ffmpeg TexLive是必须的
正常来说走完这些流程Manim就可以使用了, 不用其他乱七八糟的操作
1.1 安装Manim(社区版)
123456# (虚拟环境, 可选)python -m venv venvvenv/Scripts/activate# 安装pip install manim
如果出现Visual C++一类的报错, 安装Visual
Studio Build Tools
1.2 安装FFmpeg
下载链接 下载后解压缩,
把bin文件夹加入环境变量Path
1.3 安装Tex
建议用MikTex, 小巧灵活
1.4 安装Sox
下载链接
1.5 验证
1234manim -vlatex -vffmpegsox
你也可以选择写一个简单的manim脚本测试一下
1234567891011121314151617 ...
OI学习笔记：枚举与模拟算法详解
一、枚举算法
1.1 一维枚举
核心原理
通过单层循环遍历所有候选解，适用于解空间较小的问题。关键优化点在于缩小搜索范围和减少无效检查。
例题：素数判定（洛谷P1075）
问题分析
给定整数n，判断是否为素数（只能被1和自身整除）
优化思考
1. 边界处理：n≤1直接返回非素数
2. 范围优化：若n有因数k，则必存在k≤\(\sqrt n\)，因此遍历范围缩小到[2, \(\sqrt n\)]
3.
奇偶剪枝：除2外所有偶数都不是素数，从3开始检查且步长为2
1234567891011121314151617181920212223#include <iostream>using namespace std;int main() { int n; cin >> n; if (n <= 1) { cout << "No"; return 0; // 特判边界 } if (n == 2) { ...
迷宫探险游戏开发日志
二、交互系统设计与优化
1. 跨设备输入适配 (
问题：移动端与桌面端操作体验不一致
解决方案：双重事件监听与节流控制 123456789101112// 触摸事件处理（300ms双击检测）let lastTap = 0;canvas.addEventListener('touchstart', e => { const now = Date.now(); if (now - lastTap < 300) this.handleDoubleTap(pos); else lastTap = now;});// 鼠标事件处理canvas.addEventListener('mousedown', e => { this.selectBlock(pos);}); -
统一坐标换算逻辑 - 增加300ms操作冷却时间
2. 动态障碍物系统
问题：困难模式需要动态改变迷宫结构
实时扰动机制： 123456789101112// 每15秒随机旋转30%方块 ...
信息学竞赛实用内置算法与技巧学习笔记
算法复杂度概述
在信息学竞赛中,
算法的时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要指标.为了更全面地分析算法性能,
我们还需要了解均摊复杂度的概念及其计算方式.
时间复杂度计算方式
时间复杂度主要通过分析算法中基本操作的执行次数来确定.基本操作通常是循环、比较、算术运算等.
排序算法(sort):
排序算法的时间复杂度通常由比较和交换操作的次数决定.快速排序的平均时间复杂度为
O(n log n), 其中 n
是待排序元素的数量.这是因为快速排序将数组分成两部分, 递归排序每一部分,
并且每次递归处理大约需要 O(n) 的时间.递归深度为
O(log n), 因此总时间复杂度为 O(n log n).
二分查找算法(binary_search): 二分查找的时间复杂度为
O(log n), 其中 n
是有序数组的大小.这是因为每次比较将搜索范围减半,
直到找到目标元素或搜索范围为空.比较的次数与数组大小的对数成正比.
生成下一个排列(next_permutation): next_permutation
的时间复杂度为 O(n), 其中 n
是排 ...
