0 积分与求导的关系 事实上, 积分与求导互为逆运算这个关系似乎是显而易见的, 我们使用对 关系求导的方法求出了瞬时速度, 那么当我们知道每时每刻的速度与时间后自然而然将速度累积起来就得到了路程. 只不过由于速度在自然状态下每时每刻都在变化, 因此我们需要取极短的一段时间内的速度来代替这段时间内的平均速度, 再与这段时间相乘, 进而得到这段时间的近似路程, 而时间取得越短, 平均速度更接近瞬时速度, 求出的路程也更接近实际路程 举个例子, 从汽车加速再减速到 期间速度函数是 , 那么我们将 分割成许多小份, 比如 , 并取每秒初的速度来代替该秒的平均速度, 由此可以计算出近似路程为 那么如果取每 呢? 再精确一些, 取 , 由此我们可以发现, 随着时间的选取逐渐精确, 答案也逐渐收敛, 由此我们猜测, 当时间选取足够小的时候, 总路程的极限存在, 而这个极限就是汽车实际路程 从图像上也能感觉到, 当长方形的宽足够小的时候, 其就能够与实际二次函数图像相契合, 那么最终, 我们只需要将这些小长方形面积加起来就好了 对于这个特殊 ...

其实在写这篇笔记之前, 我对极限已经有了一定的感受与理解, 相信正在读这篇博客的你也是. 但是问题是, 我们需要像教科书那样严谨地定义极限究竟是什么, 而不是单纯说好像是越来越逼近于某数. 且我们要给出一个合理且严谨的判定方式来客观判断一个式子的极限是否真的存在, 而不是每次靠不断去越来越小的数感觉是存在的 本篇笔记会给出所谓的 定义, 但勿惊慌, 放心食用 1 导数的标准定义 在导数那篇笔记中我们了解到导数之所以能和切线产生联系, 是因为其利用了无穷小, 即要多小有多小这个强有力的工具, 因此, 我们比需要在平均变化率的公式前加上一个 来使这个式子表达的是切线的斜率 然而, 在公认的导数表达式中, 与 并不同时出现, 具体地: , 原因是通常情况下, 就已经代表了将某个值取无穷小的意思 2 极限的定义 同样的, 我们这里用导数的表达式来举例, 考虑 , 其在 处的导数值为 , 单看分子分母, 在 时分子分母似乎几乎都是 , 整体是一个形如 的分数, 这是在学习高数之前从未被定义过的一个东西, 然而我们知道这个数它确实存在, ...

二分查找有三种主流写法, 此处仅记录好理解, 好背, 对称的一种写法 0 题目描述 有一串升序数列, 他想找到第一个<=n和最后一个**>=n**的数的下标 1 思路 在写代码之前, 我们先思考一下怎么查找, 考虑下面这个例子(第二行是对应下标, 从 开始存) 当 时, 我们随便取一个区间, 比如取下标 ~, 我们发现, 因为是升序排列, 因此区间的最大值一定是最右端的数, 而 都已经比 小了, 那么这个区间一定是不符合要求的. 同理, 若取 这个单元素区间, 显然也是不符合要求的 由此我们大致有个思路了: 无论一开始的区间有多小, 只要最小值小于 , 最大值大于 , 那么这个区间一定是符合要求的, 但不是最终答案. 而二分的过程事实上是一个不断缩小范围的过程, 直到区间缩成了一个点或是直接不存在(右下标小于左下标) 那么如何确定是区间左边不要还是区间右边不要呢? 直觉告诉我们应该用一个值来代表该区间, 而这个值直觉上也知道就是区间的中位数. 只要只要中位数 , 那么区间左半部分就不要了, 因为中位数是左半部分的最大值; 反之, 若中位数 , 那么右半部分 ...

所有完整代码均可在GitHub根据文章索引查找 0 题目描述 是一个算法小白, 学会了编程中的基础四则运算, 但他发现当进行运算的两个数大于 时, 运算结果会变得很奇怪. 他想设计一个四则运算计算器, 使得进行计算以及结果位数不大于 的数可以理论上进行计算 其中, 保证数字是整数, 且不会出现负数, 所有数字的位数不会超过 位 1 算法思路 首先是存储问题, 显然对于如此大的数字, 整数类型(哪怕是 unsigned long long)也存不下, 那么这个时候我们想到既然直接存数字不行, 那我们存字符串不就好了? 字符串完全可以接受那么多位 其次是计算问题, 对于字符串, 我们目前只会按位进行运算(不是位运算), 由此我们想到了可以模拟小学就会的竖式, 大概想一想时间复杂度并不高 2 算法实现 2.1 加法 首先来解决最直观最简单的加法问题, 我们要做的事情有: 读入数字(以字符串形式) 将字符串存入数组, 并将数组反转(字符串的0在首位, 但竖式中是从尾到头的) 模拟竖式计算 输出结果 首先是i(n) 12345678910// 全局定义const int N = ...

本教程目标是再 Windows 上配置一个稳定, 高效, 主要面向信奥需求的 C++ 开发环境, 使用 MinGW 作为编译器, VSCode 作为编辑器, 并实现 一键编译运行 一 下载并安装编译器 下载 MSYS2 访问官网 https://www.msys2.org/, 根据系统架构下载安装程序 安装 MSYS2 运行安装程序, 建议安装到默认路径 C:\msys64(后续环境变量配置基于此路径) 打开 MSYS2 UCRT64 终端 从开始菜单找到并打开 MSYS2 UCRT64(注意不是 MSYS2 MSYS 或 MSYS2 MinGW 终端) 更新系统包(必须执行) 在终端中依次执行: 1pacman -Syu 若提示关闭终端重新打开, 请重新打开后再次执行 pacman -Syu, 直至没有更多更新 安装 GCC 工具链 在终端中执行: 1pacman -S --needed base-devel mingw-w64-ucrt-x86_64-toolchain 安装过程中, 默认选择 all(直接回车) 验证安装 在终端中输入 g++ --vers ...

由于换电脑, 导致这一章原本已经写完了之后又离奇消失, 以下是重新整理的笔记, 如思维较为跳跃请见谅 说是重新整理的, 其实大部分都是新写的左右脑互搏, 好几个导数的板块整理到了一起, 估计是有史以来最长的一篇笔记(不算开发日志那种含有大段代码的) 创建于 , 发布于 1 导数是什么 在高中的学习中, 我们知道导数所代表的是瞬时变化率. 所谓瞬时, 指的是单个时间点; 而变化, 则是一个时间段, 二者天生是矛盾的. 考虑一个模型: 一辆车从 处出发, 经过变速直线运动后达到 处, 该函数 绘制成 图像即: 研究这个图形, 一开始的几秒里每秒的增量较少, 中间较多, 最后又变少, 体现在图中就是图形增长的陡与缓, 反应的就是车速的快与慢, 也就是仪表盘上的数值 然而, 对着仪表盘拍一张照, 其数值是可以被静态的照片所反应的, 然而, 对着一辆行驶中的汽车拍一张照, 我们显然无法看出汽车此时的速度, 且我们知道需要通过两张同一位置拍的照片来大致估算汽车的快慢, 而这其实才是速度真正反应的:并不是一瞬间的状态, 而是一段时间的状态, 速度的单位米每秒也反映出了这一点 ...

写在前面 高等数学, 又称微积分等等 首先对于在高等数学学习过程中给予我莫大帮助的 3Blue1Brown (3B1B) 表示诚挚的感谢! 其次明确此系列博文的目的: 不同于对于大学高数课程的预习, 这些文章的目的主要在于略微揭示高数的本质, 去探究微积分这门学科从何而来, 究竟是什么意思, 而非应试的解题技巧, 后者参阅高等数学解题笔记(还没开始写,有也可能是我忘记删这行了) 是对于3B1B视频的理解以及自己的总结, 并在某种程度上减少今后再次查阅视频所消耗的时间 最后声明 本文属于学习笔记范畴，请确保文章仅用于学习交流目的，对于其中内含的3B1B视频中的结论、观点以及截图，若有侵权请联系删除 0 高等代数应用 用一个几乎所有教材都会用的例子来展现高等数学的简单应用: 圆面积的推导 考虑一个半径为 的圆⚪, 想要近似计算它的面积, 我们可以想到将其切割为若干个带有厚度 , 半径为 的同心圆(当然, 也可以切成扇形) 那么对于每个同心圆, 其可被从中间切开, 其面积可近似认为是一个长为该同心圆的周长 , 宽为 的矩形的面积 , 由此, 圆的面积便是所有同心圆面积之和, ...

[!WARNING] 本文发布于 2026年6月13日, 并带有相当一部分具有强时效性的信息如价格、迭代等, 查阅时请以最新信息为准. 本文所介绍的电脑架构时效性相对较弱, 可相对放心地查看 本文仅代表个人观点, 并不带有任何价值倾向 [!INFO] 你可以先不要硬读完这篇文章的内容细节, 而是先大致泛读文章后确定自己买电脑的大致方向, 并确认大致品牌后再来细致核对是否有痛点, 或是精细决定具体配置等 一 电脑各部件参数详解 1 CPU(中央处理器) 所有指令都由CPU来算、来调度, 它决定了系统能同时干多少活、干得有多快 关键参数 通俗解释 常见价格区间 核心数/线程数 核心相当于工人, 线程是工人能同时干的活.4核8线程≈4个工人每人能同时做2件事 办公入门: 4核8线程(500-900元)主流游戏: 6核12线程(1100-1700元)高端生产力: 8核16线程以上(1700-4000元) 频率(GHz) 工人干活的速度.基础频率是”正常速度”, 睿频是”打了鸡血的速 ...

0 克莱姆法则的应用 与先前不同, 克莱姆法则的应用也许更贴近生活 在与卡西欧计算器朝夕相处的日子里, 其解线性方程组的速度让我大为惊叹(其实和其他大部分计算一样肉眼看起来都是秒出), 计算机(器)解方程组如此快的原因便是它们没有比较式子并消元的过程, 而是将线性方程组的求解过程化为了纯数值计算的过程, 这样的计算过程的依据就是克莱姆法则(也可能是高斯消元, 但是在这篇文章里依靠的就是克莱姆法则🙃因为其能够被从几何方向上解释) 1 克莱姆法则的几何解释 原则上, 大多数 个未知数 个方程 的方程都有唯一实数解, 我们不妨从维数较低的情况开始 考虑方程组: 用矩阵表达这一过程就是: 此时求解的过程就变为了求输入的 , 使得对其施加线性变换 后, 得到的是目标向量 简单提一下, 但不是这里的重点, 这里的 若不满秩, 则会出现无解或无穷解的情况, 取决于目标向量是否在压缩后的空间中, 具体见列空间与零空间, 下文中若无特别说明, 均满秩 也许注意力惊人的你想到了, 对于变换前, , 只要使变换后仍旧满足目标向量 , 就可以直接 ...