0 基变换
0.1 基变换的运算
如标题所指, 我们来研究对于同一个向量, 如何将其用不同的基向量表示
在线性代数基础中,
我们知道, 不同基向量的选择会导致空间网格方向和间距的变化,
其中不变的是空间原点的位置, 其表示任何向量与 相乘后的向量的位置
举个例子, 用 和 表示一个二维空间( 系), 另一个人 李先生 用 和 表示一个二维空间( 系), 那么在 看来, 向量 ,
在 看来, , 因此,
系中的向量 在
系中的表示为
敏锐的人已经发现了, 上述过程不就是将 系变换至 系的线性变换 作用于 上吗? 可是问题来了:
这个变换(矩阵)做的事情是将
系变换至 系, 而其结果却显示的是将
系中的向量用 系来表示, 二者是不是反掉了?
事实上, 我们将变换应用于 的过程其实是直接将误解的 变换至其应在的空间位置;
而坐标变换与基变换本身是两个相反的变换,
我们可以说这个矩阵将
系变换至 系, 也可以说其将 系中的向量用 系来表示, 不妨验证一下:
对于 ,
我们有 ,
得到 系下的坐标系下的坐标
0.2 基变换的逆运算
上述是将 ...
试一下亮绿色主题色, 看看会不会有啥变化
前置: 行列式
前置: 向量点积/对偶性
0 向量叉积基础
0.1 二维向量叉积的意义
在二维空间中, 表示
其张成的平行四边形的面积, 其中值的正负的判断与行列式的符号判断一致,
若 与 满足右手定则,
即右手大拇指指向
的方向后, 食指能够指向 的方向, 那么
的值为正, 否则为负
0.2 二维向量叉积的计算
当我们要计算 与
张成的面积时,
我们不妨将二者看作新的空间基向量, 此时所求值即为行列式
的值
1 向量叉积
如你们所见, 上文中的”叉积”和所谓的行列式计算没有任何本质上的区别,
真正的叉积的结果并不是一个数, 而是一个向量, 只不过,
其与上文中的”叉积”的结果关联紧密——其模长等于”叉积”的值,
且与做叉积运算的两个向量所在的面垂直
然而这样的向量一共有两个, 朝向相反, 此时再掏出右手,
并伸出拇指食指和中指, 然后有很多种判断方式, 比如 - 用拇指指向 的方向, 食指指向 的方向 - 用食指指向 的方向, 中指指向 的方向 - 无论如何,
保证表示叉积的后者的手指顺序在表示叉积前者的手指之 ...
0 向量内积的计算方法
高中的小知识
对于两个维数相同的的向量 和 , 他们的内积
举个例子, 和 , 那么他们的内积就是
0.1 内积的几何意义
依旧是高中的知识, 对于两个向量 和 , 其内积的几何意义就是
在 方向上的投影长度乘以 的长度
当 时, 和 垂直
当 时,
和 同向且平行(共线),
反之反向且平行(共线)
当 时, 和 夹角在 到 之间, 反之夹角在 到 之间
0.2 内积的交换律
我们从公式中可以知道,
也就是说, 将
投影到 乘以 的长度和将 投影到 乘以 的长度的结果是一样的
这听上去很反直觉, 接下来我们尝试解释:
当 时,
总能找到一条线, 使得
和 关于这条线对称,
此时使用内积的几何意义易证明交换律
此时保持二者方向不变, 并将 伸缩变换(数乘)至 ,
此时 在 方向上的投影长度变为原来的
倍, 那么可以得到
类似地, 在
方向上的投影长度不变, 但是 的长度变为原来的 倍, 那么可以得到
又因为我们已经证明了 ,
所以
1 向量内积与线性变换
还记得上一篇笔记中 ...
计算方法如高斯消元, 行阶梯形等先挖个坑
相比于线性代数能够帮助计算机操作空间的用途,
其在更广泛的领域得以应用的原因是其可以解线性方程组,
即元与元之间只有加法和数乘,
且这个方程组与矩阵的乘法可以互化, 举个例子:
考虑一个线性方程组:
可以转化为矩阵乘法:
1 逆矩阵
1.1 逆矩阵的引入
在上面这个式子中, 表示一种线性变换,
而这个方程则表示我们需要找一个向量 ,
其在变换后等于
对于这个问题, 若是将线性变换的过程颠倒,
那么我们只要计算颠倒后的线性变换应用在目标向量, 即
后的结果即可, 这个过程就是求逆矩阵, 而倒过来的线性变换就是 的逆矩阵
1.2 逆矩阵的定义
那么究竟什么是逆矩阵? 给出一个显然的定义: 对于矩阵 , 其逆矩阵 满足 , 其中 是单位矩阵()
(todo)怎么计算逆矩阵的笔记先挖个坑
有了逆矩阵, 我们就可以解线性方程组了, 对于方程组 , 其解为
1.3 逆矩阵的存在性
考虑这样一个方程组:
将其转化为矩阵乘法:
幼儿园大班就学过, 这个方程显然无解,
现在不妨从线性代数的角度来分析这个问题, 我们可以发现, 对于 ...
0 条件概率与全概率公式
0.1 条件概率
条件概率的定义感觉是建立在贝叶斯公式的基础上的,
但是这一章只介绍其意义, 公式由来在贝叶斯章节介绍
对于事件 , 表示在事件 发生的条件下事件 发生的概率, , 其中 表示事件 和 同时发生的概率, 当且仅当 和 独立时,
0.2 全概率公式
全概率公式是条件概率的推广, 对于事件 , 如果它们是完备事件组
(用人话说就是把所有可能情况不重不漏地分到 个不同的集合中去), 即 , 且两两互斥,
即 (), 则对于任意事件 , 其发生的概率就是其在 条件下的发生的概率之和, 其中 发生的概率为 , 即
上面都是开胃小菜, 接下来——
1 贝叶斯公式
1.1 公式和推导
贝叶斯的公式内容和推导其实十分简单:
1.2 反直觉的例子
考虑一个案例: 有一个人叫 , 他乐于助人, 容易害羞,
性格较为孤僻, 温柔且做事仅仅有条,
结构清晰且乐于钻研细节,
那么他是农民的可能性大还是是图书管理员的可能性大?
大多数人出于经验 (有些人觉得是理性)
会判断他更可能是图书管理员, 但这个判断实际上是非理性的.
这个问题(非 ...
半成品,
甚至都算不上, 只能算是提纲和极为粗糙的笔记, 待精修,
写在这里只是为了提醒自己还有这么一件事情
复数的几何意义基础
复数 对应平面上的点
或向量 。其模
表示点到原点的距离，辐角
表示向量与正实轴的夹角。复数的加减对应向量加减，乘法
表示旋转与伸缩（模相乘，辐角相加），除法类似。共轭 对应关于实轴的对称。
1. 定比分点
设点 对应复数 ，点 分有向线段 成定比 （），则
推导：由 得 ，解出 。
q ## 2. 点到直线的距离 直线过 、，点 。向量 ，。距离
或等价地
推导： 的模为 ，辐角为夹角 ，其虚部即 ，乘以 得 ，即距离。
3. 两直线夹角
直线 与 的方向向量分别为 ，。它们的夹角
满足
（取主值） 即两直线夹角等于它们方向向量商（复数）的辐角绝对值。
4. 相似
三角形 与
相似（对应顶点顺序一致）当且仅当存在非零复数 使得
这里
的模为相似比，辐角为旋转角。若顺序相反，则需考虑共轭。
5. 平行与垂直
设两方向向量 （复数）。 -
平行：（即商为实数）。 - 垂直：（即商为纯虚数，实部为0）。
6. 向量旋转 ...
警告: 本文可能包含大量不规范的物理术语以及物理思想
1 情境引入与描述
做题的时候, 遇到一道形如
最小值的问题, 其中
是平面上固定的两点, 点在 轴上
如果没有
前这个系数, 那么这就是一道很简单的几何题, 但是有了这个系数, 就很烦,
当然这道题可以设出坐标, 用两点间距离公式列出函数解析式硬导, 发现驻点为1,
但是显然有更为优雅的做法
2 考虑简单情况 (无系数)
不妨设想一下当没有系数的情况, 我们可以找点 关于定直线 (此处为 轴) 的对称点 , 那么 ,
这时问题就转化为了求
的最小值, 常识告诉我们当且仅当 三点共线时上式的值最小,
这可以用三角形三边关系等轻易证明,
但我们要考虑的是从光学角度来看这个问题, 当一束光从
点出发, 在介质相同的条件下,
其达到B点的路径必为线段 ,
费马原理提出,
光从一点到另一点总是沿着时间最短的路径传播, 两点之间,
线段最短, 那么就很好的证明了上述常识中的结论
3 拓宽
我们尝试拓宽至题目中的情形,
显然在这个状态下传播路径不再是直线, 反证法易证.
在未加权的版本中, 介质相同 (不妨设均为真空, ...
1 空间的引入
此空间指的是一块面积或体积,
而非坐标系空间
在线性变换中, 我们认识了许多不同的线性变换,
并从几何层面直观地理解了它们. 其中,
我们可以发现大部分线性变换中网格大小发生了变化, 换言之,
空间都发生了变形.
举个例子, 考虑一个线性变换 , 如图, 网格显然变大了:
再举个例子, 考虑一个线性变换 , 如图, 网格显然变小了:
图文可能不是完全匹配, 但可以大致看出网格的变化
2 行列式
2.1 行列式的引入
那么, 我们该如何计算空间究竟变化了多少呢?
线性变换章节中,
我们通过矩阵计算给定向量经过线性变换后的坐标
那么对于空间的大小, 我们自然想到, 同样可以定义一种运算方式,
使得对于给定的变换前的空间大小,
可以计算变换后的空间大小, 而这就是行列式的由来
2.2 行列式的推导
我们不妨从简单的例子出发, 考虑一个线性变换 , 并聚焦在原先由 和 围成的正方形上.
经历变换后, 和
围成的变成了一个长为3, 宽为2的矩形,
面积变为原来的6倍
还记得之前我们提到的线性变换的定义吗?
线性变换是保持线性关系的变换, 即直仍直,
原仍原, ...
1 线性变换
1.1 变换
所谓函数, 不过是一种变换. 更具体一点,
我们可以认为: 函数 变换
映射; 函数是数集
(的子集)到数集(的子集)的映射,
而变换是自身到自身的映射
考虑函数 , 他接受一个参数
, 其中 ,
并输出唯一的结果,
是一一对应的关系.
变换亦是如此, 只是自变量不再拘泥于数集.
对于线性变换, 其将向量 作为自变量,
并输出向量.
变换一词在暗示你用运动的思维去思考.(引用自3B1B)
线性代数中的变换即是自身为向量的变换.当所有向量都按照一种方式运动,
所得结果即为变换的结果.(怎么像一句废话🙃)下图分别为普通线性变换,
复变函数(将复数
视作复平面内的向量 )
有人可能会问: 诶为什么函数也写在变换里呢?上文提到过,
函数可以看作是特殊的变换,
只不过其自变量和因变量都是数而已, 而复数可以视作向量,
因此复变函数也可以视作线性变换.
1.2 线性变换
若我们要在一个变换上添加线性这一特性,
其需要符合直仍直, 原仍原, 即:
直线在变换后仍为直线, 不能弯曲
原点在变换后仍为原点, 不能移动
举个例子, 考虑下图中的变换: ...
写在前面
首先对于在现代学习过程中给予我莫大帮助的 3Blue1Brown
(3B1B) 表示诚挚的感谢!
其次明确此系列博文的目的: - 不同于对于大学线代课程的预习,
这些文章的目的主要在于揭示线代的简明性,
并在前人的基础上加以自己的理解,
从而尝试提出更为初等的理论 -
是对于3B1B视频的理解以及自己的总结,
并在某种程度上减少今后再次查阅视频所消耗的时间
最后声明
若未特殊说明，本文所提到的一切概念默认在二维/三维直角坐标系中
本文属于学习笔记范畴，请确保文章仅用于学习交流目的，对于其中内含的3B1B视频中的结论、观点以及截图，若有侵权请联系删除
0.线代环境
0.1 线代应用方面
很多人(包括我自己)跟着教材初学线代时对于线代这个东西的作用一头雾水,
极为抽象的概念(如行列式, 矩阵, 特征值等)连珠炮似的砸过来,
很容易造成只会计算却不懂得应用的情况.
线代归根结底依旧是工具,
因此在学习之初明确其应用场景就显得尤为必要
简而言之, 线代较为广泛地被应用在: - 计算机科学
(主要是人工智能训练架构中) - 物理学
(主要是发挥矢量相关作用) - 数学
(主要是多维数据 ...
博客快捷键
shift K
关闭快捷键功能
shift A
打开/关闭中控台
shift M
播放/暂停音乐
shift D
深色/浅色显示模式
shift S
站内搜索
shift R
随机访问
shift H
返回首页
shift F
友链鱼塘
shift L
友链页面
shift P
关于本站
shift I
原版/本站右键菜单
数据库加载中
通知
你好呀