0 向量究竟是什么 这是一个很神奇的问题, 就像 为什么代表面前只有这样一堆东西一样. 对于我们来说, 一个 维的向量想要在空间中指出它的位置太难了, 空间是一个虚无缥缈的东西, 而若是将其写作 , 那么一个虚无缥缈的箭头立刻就显得可供计算, 变得可视了. 然而, 这似乎有些太过依赖坐标系(或是基的选择), 以及我们脑海中对于空间的想象. 来到行列式与特征向量, 它们所表达的对象本身并不随着坐标系而改变, 它们反应的都是空间本身的性质 因此, 用实数来表示向量确实能够较为形象地从一个角度来体现空间, 但是用实数表示向量却也磨灭了向量其空间性(但是不可否认的是, 坐标表示空间无疑是一种无可替代的方法) 1 函数与向量的关系 为方便起见, 函数与向量的维数均为2 考虑两个向量 和 , 以及两个函数() 和 与向量加法相同, 函数也可以直接相加: ; 而当 , 时, 有 容易发现函数的数乘与向量数乘也是一样的 由此, 向量与函数都已具备了线性性, 那么我们大胆推测: 向量中诸如零空间, 点积等所有具备向量特征的概念都可以被应用于 ...

0 线性变换中美美隐身的向量 考虑线性变换 , 可以发现所有在 轴上的向量 在变换后变为了 , 方向并没有发生变化, 长度变为了本来的 倍, 注意力惊人的你一定也发现了, 在直线 上的向量 在变换后变为了 , 方向依旧没有发生变化, 长度变为了原来的 倍 随便找一个其他的向量, 比如 , 在变换后变为了 , 方向显然发生了变化 1 定义 那么自此就可以很容易地给出特征向量的定义: 线性变换后, 方向不变的向量 同时也可以给出特征值的定义: 线性变换后, 长度变化的比例, 显然特征值可以为负 这里插一句, 对于一个三维空间, 若这个空间绕着一根直线进行旋转(也是一种线性变换), 那么其特征向量显然在这条直线上, 特征值显然为 为什么要插一句这个呢? 因为今年( 年)的选择压轴题就是将一个正方体绕着其体对角线()旋转, 问C点经过几个卦限(其中 为原点), 但当时我一没学会这个, 二没完全学会面方程, 到导致没想出来解法, 如果能早那么一天学会特征向量, 这一切又会不会有所不同呢… 所以在这个故事告诉我们, 学习任何东西都要趁早, 书到用时方恨少!!! 2 特征向量与线 ...

AppImage 安装工具 在Linux系统上轻松安装和管理AppImage应用程序，提供系统级和用户级安装选项 功能特点 自动提取AppImage元数据 用户级安装(无需root权限) 系统级安装(整个系统可用) 自动创建: 桌面启动器 (.desktop文件) 应用程序图标 终端命令 冲突检测 安装方法 123git clone https://github.com/kanwuqing/appimage-installer.gitcd appimage-installerchmod +x install_appimage.sh uninstall_appimage.sh 使用示例 用户级安装(推荐) 1./install_appimage.sh ~/Downloads/MyApp.AppImage 系统级安装(需要sudo) 1sudo ./install_appimage.sh ~/Downloads/MyApp.AppImage --system 卸载应用程序(系统级卸载同样需要sudo) 1./uninstall_appimage.sh MyApp 工作原理 提取A ...

0 基变换 0.1 基变换的运算 如标题所指, 我们来研究对于同一个向量, 如何将其用不同的基向量表示 在线性代数基础中, 我们知道, 不同基向量的选择会导致空间网格方向和间距的变化, 其中不变的是空间原点的位置, 其表示任何向量与 相乘后的向量的位置 举个例子, 用 和 表示一个二维空间( 系), 另一个人 李先生 用 和 表示一个二维空间( 系), 那么在 看来, 向量 , 在 看来, , 因此, 系中的向量 在 系中的表示为 敏锐的人已经发现了, , 那么上述过程不就是将 系变换至 系的线性变换 作用于 上吗? 可是问题来了: 这个变换(矩阵)做的事情是将 系中的向量施加 系到 系的变换, 而其结果却显示的是将 系中的向量坐标用 系下的坐标来表示, 二者是不是反掉了? 事实上, 我们将变换应用于 的过程其实是直接将误解的 变换至其应在的空间位置; 而坐标变换与基变换本身是两个相反的变换, 我们可以说这个矩阵将 系变换至 系, 也可以说其将 系中的向量用 系来表示, 不妨验证一下: 对于 , ...

试一下亮绿色主题色, 看看会不会有啥变化 前置: 行列式 前置: 向量点积/对偶性 0 向量叉积基础 0.1 二维向量叉积的意义 在二维空间中, 表示 其张成的平行四边形的面积, 其中值的正负的判断与行列式的符号判断一致, 若 与 满足右手定则, 即右手大拇指指向 的方向后, 食指能够指向 的方向, 那么 的值为正, 否则为负 0.2 二维向量叉积的计算 当我们要计算 与 张成的面积时, 我们不妨将二者看作新的空间基向量, 此时所求值即为行列式 的值 1 向量叉积 如你们所见, 上文中的”叉积”和所谓的行列式计算没有任何本质上的区别, 真正的叉积的结果并不是一个数, 而是一个向量, 只不过, 其与上文中的”叉积”的结果关联紧密——其模长等于”叉积”的值, 且与做叉积运算的两个向量所在的面垂直 然而这样的向量一共有两个, 朝向相反, 此时再掏出右手, 并伸出拇指食指和中指, 然后有很多种判断方式, 比如 - 用拇指指向 的方向, 食指指向 的方向 - 用食指指向 的方向, 中指指向 的方向 - 无论如何, 保证表示叉积的后者的手指顺序在表示叉积前者的手指之 ...

0 向量内积的计算方法 高中的小知识 对于两个维数相同的的向量 和 , 他们的内积 举个例子, 和 , 那么他们的内积就是 0.1 内积的几何意义 依旧是高中的知识, 对于两个向量 和 , 其内积的几何意义就是 在 方向上的投影长度乘以 的长度 当 时, 和 垂直 当 时, 和 同向且平行(共线), 反之反向且平行(共线) 当 时, 和 夹角在 到 之间, 反之夹角在 到 之间 0.2 内积的交换律 我们从公式中可以知道, 也就是说, 将 投影到 乘以 的长度和将 投影到 乘以 的长度的结果是一样的 这听上去很反直觉, 接下来我们尝试解释: 当 时, 总能找到一条线, 使得 和 关于这条线对称, 此时使用内积的几何意义易证明交换律 此时保持二者方向不变, 并将 伸缩变换(数乘)至 , 此时 在 方向上的投影长度变为原来的 倍, 那么可以得到 类似地, 在 方向上的投影长度不变, 但是 的长度变为原来的 倍, 那么可以得到 又因为我们已经证明了 , 所以 1 向量内积与线性变换 还记得上一篇笔记中 ...

计算方法如高斯消元, 行阶梯形等先挖个坑 相比于线性代数能够帮助计算机操作空间的用途, 其在更广泛的领域得以应用的原因是其可以解线性方程组, 即元与元之间只有加法和数乘, 且这个方程组与矩阵的乘法可以互化, 举个例子: 考虑一个线性方程组: 可以转化为矩阵乘法: 1 逆矩阵 1.1 逆矩阵的引入 在上面这个式子中, 表示一种线性变换, 而这个方程则表示我们需要找一个向量 , 其在变换后等于 对于这个问题, 若是将线性变换的过程颠倒, 那么我们只要计算颠倒后的线性变换应用在目标向量, 即 后的结果即可, 这个过程就是求逆矩阵, 而倒过来的线性变换就是 的逆矩阵 1.2 逆矩阵的定义 那么究竟什么是逆矩阵? 给出一个显然的定义: 对于矩阵 , 其逆矩阵 满足 , 其中 是单位矩阵() (todo)怎么计算逆矩阵的笔记先挖个坑 有了逆矩阵, 我们就可以解线性方程组了, 对于方程组 , 其解为 1.3 逆矩阵的存在性 考虑这样一个方程组: 将其转化为矩阵乘法: 幼儿园大班就学过, 这个方程显然无解, 现在不妨从线性代数的角度来分析这个问题, 我们可以发现, 对于 ...

0 条件概率与全概率公式 0.1 条件概率 条件概率的定义感觉是建立在贝叶斯公式的基础上的, 但是这一章只介绍其意义, 公式由来在贝叶斯章节介绍 对于事件 , 表示在事件 发生的条件下事件 发生的概率, , 其中 表示事件 和 同时发生的概率, 当且仅当 和 独立时, 0.2 全概率公式 全概率公式是条件概率的推广, 对于事件 , 如果它们是完备事件组 (用人话说就是把所有可能情况不重不漏地分到 个不同的集合中去), 即 , 且两两互斥, 即 (), 则对于任意事件 , 其发生的概率就是其在 条件下的发生的概率之和, 其中 发生的概率为 , 即 上面都是开胃小菜, 接下来—— 1 贝叶斯公式 1.1 公式和推导 贝叶斯的公式内容和推导其实十分简单: 1.2 反直觉的例子 考虑一个案例: 有一个人叫 , 他乐于助人, 容易害羞, 性格较为孤僻, 温柔且做事仅仅有条, 结构清晰且乐于钻研细节, 那么他是农民的可能性大还是是图书管理员的可能性大? 大多数人出于经验 (有些人觉得是理性) 会判断他更可能是图书管理员, 但这个判断实际上是非理性的. 这个问题(非 ...

半成品, 甚至都算不上, 只能算是提纲和极为粗糙的笔记, 待精修, 写在这里只是为了提醒自己还有这么一件事情 复数的几何意义基础 复数 对应平面上的点 或向量 。其模 表示点到原点的距离，辐角 表示向量与正实轴的夹角。复数的加减对应向量加减，乘法 表示旋转与伸缩（模相乘，辐角相加），除法类似。共轭 对应关于实轴的对称。 1. 定比分点 设点 对应复数 ，点 分有向线段 成定比 （），则 推导：由 得 ，解出 。 q ## 2. 点到直线的距离 直线过 、，点 。向量 ，。距离 或等价地 推导： 的模为 ，辐角为夹角 ，其虚部即 ，乘以 得 ，即距离。 3. 两直线夹角 直线 与 的方向向量分别为 ，。它们的夹角 满足 （取主值） 即两直线夹角等于它们方向向量商（复数）的辐角绝对值。 4. 相似 三角形 与 相似（对应顶点顺序一致）当且仅当存在非零复数 使得 这里 的模为相似比，辐角为旋转角。若顺序相反，则需考虑共轭。 5. 平行与垂直 设两方向向量 （复数）。 - 平行：（即商为实数）。 - 垂直：（即商为纯虚数，实部为0）。 6. 向量旋转 ...