笔记数学高等数学高等数学学习笔记——泰勒级数
Kanwuqing
这是再全国数学卷中使用得非常频繁的各种放缩的真正基础
1 泰勒展开的推导
有没有想过, 在遇到如三角函数,
对数函数等难以研究的函数的时候如果有一种方法能够将其表达为多项多次式的时候,
无论是求导积分还是计算都被大大简化. 比如 和 的函数图像是这样的: 
可以看到二者在一个邻域内非常接近,
那么这个二次函数的解析式是如何得到的呢?
我们不妨就来考虑 的图像,
要找到一个二次函数
使其最接近余弦函数. 首先对于
处, , 因此
那这时候我们就会想, 二次函数
时的值确定下来了, 那要是此时二者切线也相同, 那贴合程度岂不大大增加了?
容易知道 ,
因此二次函数在此处的导数 ,
那么这时候两个参数已经被确定了, 只剩二次项系数. 此时只是确保 处切线水平, 但是如果 , 那么二次函数开口向上,
差距未免也太大了, 这时候我们就想到上一章所说的高阶导,
要是这时候二阶导数值也相同, 那么贴合程度不就更接近了? 赶紧计算一下,
,
而二次函数二阶导数值 , 就得到了上文中的函数, 这也被称为函数在 处的展开
回顾一下,
的作用是让二者函数值相等,
的作用是让二者导数值相等,
的作用是让二者二阶导(凹凸性)相等, 那如果将幂次继续往上叠,
不就更精确了吗?
用同样的方法拟合出四次函数 ,
函数是这样的:
有了这个拟合,
在计算小角度的计算(如单摆模型)的时候直接用这个多项式计算,
既精确还方便
为了求出公式, 那么我们先来看多项式中单个项的高阶导规律: 对于 , 轮到其拟合时(不会影响低次项,
因为已经被导没了)其已经被导成零次幂了, 即 , 因此最终的结果要除以
这时候可能有疑问: 那如果要求的不是 处的, 而是其他非零的,
那么这时候确定后面系数的时候不还是会受到前面系数的影响吗?
这样还是最贴合的曲线吗? 这时候只要将 通通换成 就好了
再来看目标函数 ,
其高阶导也十分规律, 无非就是 之间的循环, 且在 处导数值也呈周期性,
那么对应的参数前的系数也就能确定了, 加以总结化简就得到了 在 处的泰勒展开(注意: 以下没有带分数,
均为乘号省略后的结果): ,
且该方法能适用于所有高阶连续可导的函数
用同样的方法再来算
的泰勒展开式: 由于
的任意高阶导数都是其本身, 且 ,
因此其泰勒展开式十分简单: ,
而此时累加无穷多项得到的就是泰勒级数, 且若随着累加,
结果趋向于某一确定的值, 而该值无法达到, 同时无穷多项也无法真正达到,
我们旧可以说该无穷级数等于某值, 最简单的例子就是 ; 而若该级数不是无穷级数,
而其在某邻域内与目标函数近似相等,
我们就将该邻域称为该泰勒级数的展开半径
2 二阶导与积分之间的关系
我们知道, 一个函数也可以表示为其原函数的导函数, 且若 的宽度不可忽略, 那么 事实上由一块长方形和一块近似三角形组成
此处的斜率是函数的一阶导, 同时也是原函数在 处的二阶导, 如果将其用式子表达, 就是
,
之所以多乘了一个 ,
是因为面积求导至函数的时候要乘以该点横坐标. 由此计算三角形面积, 就是
,
那么此时若已知 左侧的面积,
则要再求 左侧的面积,
就可以直接用三部分面积相加求出
至此, 微积分入门必备常识就写完了, 接下来正式开始学微积分
