线性代数学习笔记——基变换
线性代数学习笔记——基变换
Kanwuqing0 基变换
0.1 基变换的运算
如标题所指, 我们来研究对于同一个向量, 如何将其用不同的基向量表示
在线性代数基础中, 我们知道, 不同基向量的选择会导致空间网格方向和间距的变化, 其中不变的是空间原点的位置, 其表示任何向量与 \(0\) 相乘后的向量的位置
举个例子, \(Kanwuqing\) 用 \(\boldsymbol{\hat{i}}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\) 和 \(\boldsymbol{\hat{j}}=\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\) 表示一个二维空间(\(K\) 系), 另一个人 \(Mrl(李先生)\) 用 \(\boldsymbol{\hat{i}^\prime}=\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix}\) 和 \(\boldsymbol{\hat{j}^\prime}=\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}\) 表示一个二维空间(\(M\) 系), 那么在 \(Mrl\) 看来, 向量 \(\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}-1 \\ 2\end{bmatrix}=-\boldsymbol{\hat{i}^\prime}+2\boldsymbol{\hat{j}^\prime}\), 在 \(Kanwuqing\) 看来, \(-\boldsymbol{\hat{i}^\prime}+2\boldsymbol{\hat{j}^\prime}=\begin{bmatrix}-4 \\ 1\end{bmatrix}\), 因此, \(M\) 系中的向量 \(\begin{bmatrix}-1 \\ 2\end{bmatrix}\) 在 \(K\) 系中的表示为 \(\begin{bmatrix}-4 \\ 1\end{bmatrix}\)
敏锐的人已经发现了, \(\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 \\ 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 \\ 1\end{bmatrix}\), 那么上述过程不就是将 \(K\) 系变换至 \(M\) 系的线性变换 \(L\) 作用于 \(\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}-1 \\ 2\end{bmatrix}\) 上吗? 可是问题来了: 这个变换(矩阵)做的事情是将 \(K\) 系中的向量施加 \(K\) 系到 \(M\) 系的变换, 而其结果却显示的是将 \(M\) 系中的向量坐标用 \(K\) 系下的坐标来表示, 二者是不是反掉了?
事实上, 我们将变换应用于 \(\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}-1 \\
2\end{bmatrix}\) 的过程其实是直接将误解的 \(\boldsymbol{v}\) 变换至其应在的空间位置;
而坐标变换与基变换本身是两个相反的变换,
我们可以说这个矩阵将 \(K\)
系变换至 \(M\) 系, 也可以说其将 \(M\) 系中的向量用 \(K\) 系来表示, 不妨验证一下:
对于 \(\forall\boldsymbol{v}=x_1\boldsymbol{\hat{i}}+y_1\boldsymbol{\hat{j}}=x_2\boldsymbol{\hat{i}^\prime}+y_2\boldsymbol{\hat{j}^\prime}\), 我们有 \(\boldsymbol{v}=x_2L\boldsymbol{\hat{i}}+y_2L\boldsymbol{\hat{i}}\), 得到 \(K系下的坐标=LM系下的坐标\)
0.2 基变换的逆运算
上述是将 \(M\) 系中的向量用 \(K\) 系来表示, 那么反过来呢? 其实就是将变换的逆运算作用于已知向量, 即将矩阵取逆
0.3 基变换的延伸
现在不只将目光拘泥于两个系之间的向量变换, 我们来考虑: 若是将 \(M\) 系逆时针旋转 \(90\degree\) (其实是作用一个任意线性变换 \(L_1\)), 那么对应的向量坐标会发生什么变化?
也许有人会说那直接计算 \(L\times L_1\) 不就好了, 但事实上, \(L\) 中记录的所有坐标仍旧是 \(K\) 系下的, 上述做法显然不正确, 我们只得到了 \(K\) 系下基向量旋转后的坐标, 而不是 \(M\) 系下旋转后的坐标, 因此, 最后一步显而易见, 即乘以 \(L^{-1}\)
写成式子就是: \[ \boldsymbol{v}^\prime=L^{-1}L_1L\boldsymbol{v} \]
此时 \(L^{-1}L_1L\) 这个线性变换就是 \(M\) 系中作用 \(L_1\) 变换的结果(特别地, \(L_1\) 的定义仍在 \(K\) 系下, 若定义在 \(M\) 系下, 则 \(L_2=L_1\))
因此在形如 \(L^{-1}L_xL\) 的结构中, 其反应的是一种转移作用, 其将常见的 \(L_x\) 变换转移到了一个新系中
