1 空间的引入

此空间指的是一块面积或体积, 而非坐标系空间

在线性变换中, 我们认识了许多不同的线性变换, 并从几何层面直观地理解了它们. 其中, 我们可以发现大部分线性变换中网格大小发生了变化, 换言之, 空间都发生了变形.

举个例子, 考虑一个线性变换 \(M_1=\begin{bmatrix} 6 & -2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\), 如图, 网格显然变大了:

再举个例子, 考虑一个线性变换 \(M_2=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\), 如图, 网格显然变小了:

图文可能不是完全匹配, 但可以大致看出网格的变化

2 行列式

2.1 行列式的引入

那么, 我们该如何计算空间究竟变化了多少呢?

线性变换章节中, 我们通过矩阵计算给定向量经过线性变换后的坐标

那么对于空间的大小, 我们自然想到, 同样可以定义一种运算方式, 使得对于给定的变换前的空间大小, 可以计算变换后的空间大小, 而这就是行列式的由来

2.2 行列式的推导

我们不妨从简单的例子出发, 考虑一个线性变换 \(M_1=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\), 并聚焦在原先由 \(\boldsymbol{\hat{i}}\) 和 \(\boldsymbol{\hat{j}}\) 围成的正方形上. 经历变换后, \(\boldsymbol{\hat{i}^\prime}\) 和 \(\boldsymbol{\hat{j}^\prime}\) 围成的变成了一个长为3, 宽为2的矩形, 面积变为原来的6倍

还记得之前我们提到的线性变换的定义吗? 线性变换是保持线性关系的变换, 即直仍直, 原仍原, 且变换后网格线保持平行且等距分布, 通过这个约束, 我们用小学就学过等积变形(死去的记忆突然跳起来并攻击了我), 可以得出无论变换前由什么向量围成的图形, 变换后图形的面积都是变换前的6倍, 放张图大致感受一下:

等积变形: 同底等高的平行四边形面积相等, 如果线性变换忘了去这里!

对于不规则图形面积, 我们可以采用微积分的思想来解决, 将图形分割成许多小矩形, 然后求和即可, 小矩形面积满足倍数关系, 所以整个图形面积也满足倍数关系

2.3 行列式的定义

2.3.1行列式的大小

对于面积缩放的比例, 我们称之为行列式, 记作 \(\det(M)\) 或 \(|M|\), 即 \(\det(M)=\begin{vmatrix}M\end{vmatrix}=\frac{\text{变换后面积}}{\text{变换前面积}}\)

个人认为行列式的由来和定义远比其计算技巧更重要

当一个二维平面内的线性变换所对应的行列式为0时, 不妨设想一下发生了什么. 不难想到, 变化后面积变为了0, 就代表变换后二维空间消失了, 即线性变换将空间压缩为一条直线或一个点

由此可以推广得出, 若一维空间经历线性变换后行列式为0, 则空间被压缩为一个点; 若三维空间经历线性变换后行列式为0, 则空间被压缩为一个平面或一条直线或一个点. 通过这个可以检验空间是否被压缩

由此可以联想到线性代数基础中提到的线性相关的概念, 若一个矩阵中的列向量线性相关, 维度发生了退化, 则该矩阵的行列式为0

2.3.2 行列式的正负

若仅仅按照上文的定义, 行列式的值是 \(\frac{\text{变换后面积}}{\text{变换前面积}}\geq0\), 但事实上, 行列式也存在负值

考虑这个线性变换, \(M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\), 如图:

不难发现, 相较于原先 \(\boldsymbol{\hat{i}}\) 在 \(\boldsymbol{\hat{j}}\) 的左边, 变换后的 \(\boldsymbol{\hat{i}^\prime}\) 在 \(\boldsymbol{\hat{j}^\prime}\) 的右边, 即空间发生了翻转, 对于二维空间, 可以想象一张A4纸翻了个面, 我们称之为空间定向发生了改变

当空间定向改变时, 行列式值为负, 反之为正, 此时行列式的绝对值仍然为变换后面积与变换前面积的比值

举个例子, 考虑上面那个行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\), 其值为 \(-3\)

为什么负值能够用来描述定向空间的改变呢? 想象 \(\boldsymbol{\hat{i}}\) 逆时针逐渐向 $ 靠近, 那么行列式的值应从1逐渐向0靠近, 那么当转过 \(90\degree\) 后, 行列式的值自然而然向-1靠近了

2.3.4 三维空间中的行列式

其实三维空间中的行列式与二维空间中的行列式是类似的, 只不过多了个维度, 我们可以想象一个三维空间中的正方体, 经历线性变换后变成了一个平行六面体, 行列式此时描述的是平行六面体体积与正方体体积的比值

那么, 对于三维空间中的行列式, 其正负的几何意义又是什么呢? 由此不得不提到作者高中数学老师在讲解立体几何习题时建系前经常强调的右手系和左手系了, 这也是作者同桌在高中数学课上被老师骂了无数次的概念

对于常见的空间系, 一般而言都是右手系, 先记录一下通用的判定标准: 食指表示 \(\boldsymbol{\hat{i}}\), 中指表示 \(\boldsymbol{\hat{j}}\), 且大拇指自然向上表示 \(\boldsymbol{\hat{k}}\) 的空间系是右手系. 作者习惯性记住一个 \(\boldsymbol{\hat{i}}\) 指向自己, \(\boldsymbol{\hat{j}}\) 指向右边, \(\boldsymbol{\hat{k}}\) 向上指的一张图, 并在此基础上作空间旋转来判定

如果能用右手展示出这个空间系, 则为右手系, 反之为左手系. 当空间系是右手系时, 行列式值为正, 反之为负. 这也解开了高中老师为什么一直强调要用右手系的原因

2.4 行列式的计算

对于二维行列式 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\), 其值为 \(ad-bc\), 较为几何化的解释如下:

\(a\) 反映了 \(\boldsymbol{\hat{i}}\) 沿 \(x\) 轴的伸缩比例, \(d\) 反映了 \(\boldsymbol{\hat{i}}\) 沿 \(y\) 轴的伸缩比例, 当 \(bc=0\) 时, 变换后的平行四边形仍有一条边平行于原坐标轴, 那么此时面积可以直接用 \(ad\) 来计算, 如图:

当 \(bc\neq0\) 时, 变换后的平行四边形两条边都不平行于原坐标轴, 那么此时面积通过标出各边长度, 并使用小学就学过的割补法就可以得到 \(ad-bc\) 这个公式

推导: \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=(a+b)(c+d)-2bc-ac-bd=ad-bc\)

2.4.1 三维行列式的计算

由于重点在于几何层面的理解, 再加上明天开学了今天要早睡, 先贴一个公式(按列展开)挖一个坑以后来填

\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}-b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \]

三维行列式的几何意义就是变换后的平行四面体的体积

2.5 行列式的性质

要说行列式的计算性质那可太多了, 一本书保不齐都不够写的, 这里记录一个比较有意思的性质: \(\begin{vmatrix}M_1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}M_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}M_1M_2\end{vmatrix}\)

如果要用计算性质来解释, 那么就直接上拉普拉斯法则吧, 不知道不要紧, 作者在写这篇博客的时候也不知道. 尝试用几何思维来解释, 和之前解释线性变换的思路相仿: 对于 \(\begin{vmatrix}M_{1,2}\end{vmatrix}\), 其描述的是经历 \(M_{1,2}\) 变换后空间大小伸缩的倍数, 举个例子, \(\begin{vmatrix}M_{1}\end{vmatrix}=4\), \(\begin{vmatrix}M_{2}\end{vmatrix}=3\), 那么先后经历 \(M_{1,2}\) 变换后, 空间大小伸缩的倍数自然为 \(4\times3=12\)