高等数学学习笔记——高等数学基础

写在前面

高等数学, 又称微积分等等

首先对于在高等数学学习过程中给予我莫大帮助的 3Blue1Brown (3B1B) 表示诚挚的感谢!

其次明确此系列博文的目的:

• 不同于对于大学高数课程的预习, 这些文章的目的主要在于略微揭示高数的本质, 去探究微积分这门学科从何而来, 究竟是什么意思, 而非应试的解题技巧, 后者参阅高等数学解题笔记(还没开始写,有也可能是我忘记删这行了)
• 是对于3B1B视频的理解以及自己的总结, 并在某种程度上减少今后再次查阅视频所消耗的时间

最后声明

本文属于学习笔记范畴，请确保文章仅用于学习交流目的，对于其中内含的3B1B视频中的结论、观点以及截图，若有侵权请联系删除

0 高等代数应用

用一个几乎所有教材都会用的例子来展现高等数学的简单应用: 圆面积的推导

考虑一个半径为 的圆⚪, 想要近似计算它的面积, 我们可以想到将其切割为若干个带有厚度 , 半径为 的同心圆(当然, 也可以切成扇形)

那么对于每个同心圆, 其可被从中间切开, 其面积可近似认为是一个长为该同心圆的周长 , 宽为 的矩形的面积 , 由此, 圆的面积便是所有同心圆面积之和, 将其表示在一个图表中即为:

我们不难发现, 当 逐渐变小, 所有近似矩形的面积排列逐渐趋近于一条过原点的直线 , 那么当 足够小时, 所求的和可近似认为是该直线下方的面积, 即圆的面积为

在上面的过程中, 我们一共经过了两步近似操作: 近似将分出来的图形视作矩形, 近似将矩形的面积之和视作圆的面积, 这一切成立的条件是建立在 足够小所引起的质变上的, 在美术中, 我们将该变化称为化直为曲, 在这里也有异曲同工之妙, 并且这直接引出了积分求法的推导过程

而这两步近似操作所分别对应的就是微分与积分

1 积分的简单非完全推导

下面的推导非常不专业, 仅供初步理解使用

简而言之, 积分就是求函数与 轴围成的面积(面积可以为负), 我们来考虑函数 , 设其与 轴形成的面积为 , 由上面的启发, 我们取微小的一段, 称之为 (其中 的含义是无穷小), 那么 从 增加 后, 面积可近似认为增加了一个长为 , 宽为 的矩形的面积, 且这个增量关系对 均成立, 那么我们猜测, 最终的面积与 的和, 即 有关

另一方面, 作为矩形的宽, 其可以表示为 , 其中 , 那么 , 高中里我们就已经学过, 等号后面的部分实际上就是 在 处的导数, 因此, , 也就是说, 找 的过程实际上就是找到一个函数, 使得其导函数为

那么我们不妨设 , 计算 , 可知 (这一段其实纯纯拆开计算), 且这两个函数具有 的关系, 这就是微积分基本定理