数学与物理的结合——带权将军饮马

警告: 本文可能包含大量不规范的物理术语以及物理思想

1 情境引入与描述

做题的时候, 遇到一道形如 最小值的问题, 其中 是平面上固定的两点, 点在 轴上

如果没有 前这个系数, 那么这就是一道很简单的几何题, 但是有了这个系数, 就很烦, 当然这道题可以设出坐标, 用两点间距离公式列出函数解析式硬导, 发现驻点为1, 但是显然有更为优雅的做法

2 考虑简单情况 (无系数)

不妨设想一下当没有系数的情况, 我们可以找点 关于定直线 (此处为 轴) 的对称点 , 那么 , 这时问题就转化为了求 的最小值, 常识告诉我们当且仅当 三点共线时上式的值最小, 这可以用三角形三边关系等轻易证明, 但我们要考虑的是从光学角度来看这个问题, 当一束光从 点出发, 在介质相同的条件下, 其达到B点的路径必为线段 , 费马原理提出, 光从一点到另一点总是沿着时间最短的路径传播, 两点之间, 线段最短, 那么就很好的证明了上述常识中的结论

3 拓宽

我们尝试拓宽至题目中的情形, 显然在这个状态下传播路径不再是直线, 反证法易证. 在未加权的版本中, 介质相同 (不妨设均为真空, 光速为 ), 那么现在一条定直线将整个空间分割为2部分, 我们假设 点所在的那一半为真空 (光速最快, ), 另外一边为介质 , 光速为

此时 点有两种状况, 即与 点在同侧或异侧, 根据对称性, 我们不妨假设 点在同侧, 在异侧. 那么光要从 传播到 , 其必会经过介质分界线, 此时光的路径与分界线的交点就是所求 点

要求光传播所用时间, 我们可以轻易写出 , 而我们需要的是 的形式, 那么不妨令 , 根据折射率性质 (还是定义来着, 反正这里能用🙃) 我们可以相对轻易表示出入射角和出射角的正弦值, 那么根据这个列方程再解就轻松得多

4 实例

拿上面提到的情况举例: 假设 , , 可以轻易解得 , 即 , 与求导法结果相同

5 较为鲁棒的公式推导过程

不要死记!

5.1 坐标变换: 将直线化为 轴

设直线 的一般式为

其方向向量为 , 要将其变换至 轴, 需要旋转 , 即旋转矩阵为

这里不知道怎么回事的可以来这里看看

引入新坐标系 , 定义变换: 这是一个等距变换（旋转加平移）, 保持两点间距离不变.在新坐标系中, 直线 的方程为 （因为直线上点满足 , 故 ）.点 和 变换后的坐标分别为 其中 由于 、 在直线两侧, 与 异号, 不妨设 , .

5.2 在新坐标系中建立方程

动点 在直线 上, 设其坐标为 , 且显然 .则

入射角 是 与法线（即 轴正方向）的夹角, 其正弦等于 在水平方向的分量除以斜边: 同理, 折射角 的正弦为 根据费马原理, 极值点满足 代入得

5.3 平方消去绝对值

将 (1) 两边平方: 交叉相乘: 展开并移项: 这是关于 的四次方程.

5.4 特殊情况

当 时, (3) 式化为 开方得 由于 , , 故 .合理选取符号（考虑几何意义, 通常取 $ -Y_2 (X_1 - X) = Y_1 (X_2 - X)$ 这也是经典将军饮马问题中利用对称点求得的交点横坐标

5.5 求解最小值

解方程 (3) 得到实根 （可能多个）, 代入

5.6 逆变换回原坐标系

设求得的 为极值点在新系中的横坐标, 则 在新系中为 .通过逆变换得到原坐标 .

对于 点, , 代入得: 或者写为: 这就是原坐标系中 的坐标.