线性代数学习笔记——复数的几何意义(未完)

半成品, 甚至都算不上, 只能算是提纲和极为粗糙的笔记, 待精修, 写在这里只是为了提醒自己还有这么一件事情

复数的几何意义基础

复数 对应平面上的点 或向量 。其模 表示点到原点的距离，辐角 表示向量与正实轴的夹角。复数的加减对应向量加减，乘法 表示旋转与伸缩（模相乘，辐角相加），除法类似。共轭 对应关于实轴的对称。

1. 定比分点

设点 对应复数 ，点 分有向线段 成定比 （），则
推导：由 得 ，解出 。

2. 点到直线的距离

直线过 、，点 。向量 ，。距离
或等价地
推导： 的模为 ，辐角为夹角 ，其虚部即 ，乘以 得 ，即距离。

3. 两直线夹角

直线 与 的方向向量分别为 ，。它们的夹角 满足
（取主值） 即两直线夹角等于它们方向向量商（复数）的辐角绝对值。

4. 相似

三角形 与 相似（对应顶点顺序一致）当且仅当存在非零复数 使得
这里 的模为相似比，辐角为旋转角。若顺序相反，则需考虑共轭。

5. 平行与垂直

设两方向向量 （复数）。 - 平行：（即商为实数）。 - 垂直：（即商为纯虚数，实部为0）。

6. 向量旋转

向量 绕原点逆时针旋转角 得 。绕任意点 旋转：先平移 ，旋转，再加 ：

7. 三角形四心

  • 重心 ：
  • 外心 ：满足 ，公式较复杂，常用垂心关系。
  • 垂心 ：，其中 为外心。若以外心为原点，则 。
  • 内心 ：

推导：重心由坐标平均得；垂心利用欧拉线或向量关系；内心由角平分线定理（到三边距离相等）得加权平均。

8. 梅涅劳斯定理（Menelaus）

直线截三角形 三边（或延长线）于 （分别在线 上），则
（有向线段） 在复平面上，设 的定比分点参数，利用共线条件可证。

9. 点关于直线的对称点

直线过 、，点 ，求对称点 。 步骤： 1. 方向向量 。 2. 求 在直线上的投影 ：
其中 为实数投影比例。 3. 由中点公式 得
推导： 的实部给出沿 方向的投影长度（除以 后为比例），虚部为垂直距离。投影点即 。