AI学习笔记 - 线性代数行列式
零、基础知识准备: 线性变换
具体内容会在以后笔记中具体论述
好的, 线性变换是线性代数中的一个核心概念, 它描述了向量空间中的一种映射, 满足特定的性质.让我来补充解释一下线性变换的概念.
线性变换的定义
线性变换是一种函数, 它将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量, 同时保持向量加法和标量乘法的结构.具体来说, 一个线性变换 $ T $ 满足以下两个条件:
加法保持: 对于任意两个向量 \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\), 有: \[ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \]
标量乘法保持: 对于任意标量 $ c $ 和向量 \(\mathbf{u}\), 有: \[ T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) \]
线性变换的几何意义
线性变换可以看作是对空间的一种“变形”, 比如旋转、缩放、反射、剪切等.这些变换保持了直线和平行性, 但可能会改变长度、角度和方向.
线性变换的例子
- 旋转: 将平面上的每个点绕原点旋转一个固定角度.
- 缩放: 将空间中的每个点沿着某个方向按比例缩放.
- 反射: 将空间中的每个点关于某个平面或直线反射.
- 剪切: 将空间中的每个点沿着某个方向平移, 平移的距离与另一个方向的坐标成比例.
线性变换与矩阵
每个线性变换都可以用一个矩阵来表示.对于 $ n $ 维空间到 $ m $ 维空间的线性变换 $ T $, 存在一个 $ m n $ 的矩阵 $ A $, 使得:
\[ T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} \]
其中 \(\mathbf{v}\) 是一个 \(n\) 维列向量.
总结
线性变换是线性代数中的一个核心概念, 它描述了向量空间中的一种映射, 保持向量加法和标量乘法的结构.行列式则是衡量线性变换对空间“体积”影响的一个指标.理解线性变换和行列式的关系, 能帮助我们更好地理解矩阵和线性代数的几何意义.
一、行列式的基本概念: 从简单到复杂
1.1 二阶行列式: 初识行列式的"小宇宙"
行列式到底是什么？它看起来像是一个矩阵, 但其实它是一个值,
用来描述矩阵的面积或者体积.对于二阶行列式,
它的计算方式非常简单, 但背后却藏着深刻的几何意义.
\[ \begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]
刚开始接触这个公式时, 我有点困惑: 为什么是 \(ad - bc\)? 后来我意识到,
这其实是矩阵对应线性变换的面积缩放因子.如果行列式是正的,
说明变换保持了方向；如果是负的, 说明方向被翻转了.
示例: 计算行列式: \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\\\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 2 \times 5 - 3 \times 4 = 10 - 12 = -2 \]
这个结果告诉我们, 这个矩阵对应的线性变换会让面积缩小到原来的1/2(因为绝对值是2), 并且翻转了方向(因为结果是负的).就像你把一张纸对折, 面积变小了, 而且正面变成了反面.
有趣的记忆方法: 试计算: \[ \begin{vmatrix} 爱 & 万 \\\\ 年 & 你 \end{vmatrix} = 爱你-万年 \]
1.2 三阶行列式: 进入三维世界的"体积计算"
三阶行列式的计算看起来有点复杂, 但其实它和二阶行列式一样,
描述的是矩阵对应线性变换的体积缩放因子.计算公式是:
\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\\\ d & e & f \\\\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \]
刚开始看到这个公式时, 我有点晕, 感觉像在解魔方.后来我发现了一个记忆的小技巧: 想象一个立方体, 沿着对角线方向相加, 再减去反方向的对角线.这种方法虽然有点抽象, 但能帮助我快速记住公式. >将这个公式每一项涉及到的元素用线连起来, 然后倒过来看, 你会发现——
示例: 计算行列式: \[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\\\
4 & 5 & 6 \\\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
= 1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 - 3
\times 5 \times 7 - 2 \times 4 \times 9 - 1 \times 6 \times 8
\] 一步步算下来: \[
45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48 = 0
\] 结果是0, 说明这个矩阵对应的线性变换把三维空间压缩成了一个平面,
体积被完全抹平了.
有趣的记忆方法: 试计算: \[ \begin{vmatrix} 我 & & 生 \\\\ & 爱 & \\\\ 你 & & 你 \end{vmatrix} = 我爱你-生爱你 \]
1.3 n阶行列式: 进入高维世界的"排列游戏"
当行列式扩展到n阶时, 公式变得非常抽象: \[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} \] 这里的 \(S_n\) 是所有n元排列的集合, \(\text{sgn}(\sigma)\) 是排列的符号(奇排列为-1, 偶排列为+1).刚开始看到这个公式时, 我完全懵了, 感觉像是在看天书.后来我意识到, 这其实是一个排列的组合游戏: 每个排列对应一种乘积, 奇偶性决定符号.
虽然公式看起来复杂,
但它的本质是计算所有可能的路径乘积之和,
同时考虑路径的方向(奇偶性).这种高维的思考方式让我觉得行列式真是一个神奇的工具.
二、行列式的展开: 拆解复杂问题的"剥洋葱法"
行列式的展开是解决复杂行列式问题的关键技巧.它的核心思想是: 通过余子式和代数余子式, 把一个大的行列式拆解成多个小的行列式, 逐步简化问题.
2.1 按行展开: 余子式与代数余子式的"棋盘格游戏"
余子式 \(M_{ij}\): 去掉第 \(i\) 行第 \(j\) 列后的子行列式. 代数余子式: \(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\), 符号由位置决定, 像棋盘的黑白格交替.
展开公式: \[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} \quad (\text{固定第 } i \text{ 行}) \]
证明思路: 假设选第一行展开, 每个元素 \(a_{1j}\) 乘以其代数余子式, 本质是递归分解行列式, 直到二阶或一阶.符号 \((-1)^{i+j}\) 保证不同位置的权重符合排列奇偶性
示例: 计算行列式: \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & 4 & 0 \\\\ 0 & 5 & 6 \end{vmatrix} \] 选第一行展开(含两个零, 计算快): \[ 1 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}4 & 0 \\\\ 5 & 6\end{vmatrix} + 0 \cdot (\cdots) + 2 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}3 & 4 \\\\ 0 & 5\end{vmatrix} = 1 \cdot 24 + 2 \cdot 15 = 54 \] 关键技巧: 优先选择含零多的行展开, 省去无用功！ 这个过程让我意识到, 行列式的展开其实是一个递归的过程, 每次展开都会让问题变得更简单.
2.2 拉普拉斯定理: 分块展开的"降维打击"
定理内容: 选定 \(k\) 行(列), 行列式可拆分为所有可能的 \(k\) 阶子式与其代数余子式的乘积之和.
4个分块结论与证明 1. 主对角分块: \[ \det\begin{pmatrix} A & 0 \\\\ 0 & B \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(B) \] 证明: 非零项仅在对角块内排列组合, 符号全为正.
副对角分块: \[ \det\begin{pmatrix} 0 & A \\\\ B & 0 \end{pmatrix} = (-1)^{mn} \det(A)\det(B) \] 证明: 需交换 \(m\) 行和 \(n\) 列, 符号由逆序数 \(mn\) 决定.
三角分块: \[ \det\begin{pmatrix} A & C \\\\ 0 & B \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(B) \] 证明: 化为上三角矩阵, 对角线为 \(A\) 和 \(B\) 的对角元素.
混合分块: \[ \det\begin{pmatrix} A & B \\\\ C & D \end{pmatrix} \neq \det(A)\det(D) - \det(B)\det(C) \quad (\text{仅在特定条件下成立！}) \] 反例: 若 \(A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\), 但 \(B,C\) 非零时等式不成立.
适用范围: - 分块对角、三角或副对角结构. - 普通展开法计算量大时, 分块法效率更高.
对比示例: 计算分块矩阵行列式: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 3 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 5 & 6 \\\\ 0 & 0 & 7 & 8 \end{vmatrix} \] 拉普拉斯定理: 直接拆分为 \(\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \cdot \det\begin{pmatrix}5 & 6 \\\\ 7 & 8\end{pmatrix} = (-2) \times (-2) = 4\). 普通展开法: 需计算 \(4! = 24\) 项, 效率极低. 注意: 分块明显时, 拉普拉斯定理很流弊!
三、行列式的性质
行列式的性质是计算行列式的"捷径".掌握这些性质后, 很多复杂的行列式可以直接通过性质化简, 而不需要一步步展开.
3.1 行列式的性质
转置不变性: \(\det(A^T) = \det(A)\) 这个性质让我觉得行列式非常对称, 无论是横着看还是竖着看, 结果都一样.
行交换: 交换两行, 行列式变号. 这就像交换两个人的位置, 方向发生了变化.
行倍数: 某一行乘以一个常数, 行列式也乘以该常数. 这就像拉伸一个物体, 面积或体积也会按比例变化.
行相加: 某一行的倍数加到另一行, 行列式不变. 这个性质让我觉得行列式非常灵活, 可以通过行变换来简化计算.
示例: 验证行列式转置不变性: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \] \[ \det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \] \[ \det(A^T) = 1 \times 4 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2 \] 结果一致, 说明行列式确实具有转置不变性.
四、行列式的计算: 从复杂到简单的"化繁为简"
行列式的计算方法多种多样, 但核心思想是"化繁为简".通过行变换或其他技巧, 把复杂的行列式转化为简单的形式.
4.0 行列式的计算方法: 找到最适合的路径
- 展开法: 按某一行或列展开, 适合行列式中有较多零元素的情况.
- 行变换法: 通过行变换将行列式化为上三角或下三角行列式, 这样行列式就是对角线元素的乘积.
- 分块矩阵法: 对于分块矩阵, 利用分块矩阵的行列式性质.
- 逆序数法: 利用排列的逆序数计算行列式, 适合高阶行列式.
4.1 三阶行列式的"零的诱惑"
当矩阵中至少有两个零时, 六线法则计算量骤减: \[ \begin{vmatrix} a & 0 & c \\\\ d & e & 0 \\\\ 0 & f & g \end{vmatrix} = aeg + cdf \quad (\text{非零项仅2个!}) \] 示例: \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\\\ 4 & 5 & 0 \\\\ 0 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 6 = 70 + 72 = 142 \]
4.2 高阶行列式的逆序数暴力法: 按定义展开, 适合低阶或特殊排列.
行列式的完全展开式可以通过排列的逆序数来计算, 这种方法虽然看似复杂,
但能帮助我们更深入地理解行列式的本质.当然也能简化行列式的计算了,
不然写它干嘛
行列式的完全展开式
n阶行列式可以表示为: \[ \det(A) = \sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} \] 其中: - \(j_1j_2...j_n\) 是n元全排列. - \(\tau(j_1j_2...j_n)\) 是排列的逆序数, 表示排列中逆序的个数.
逆序数的计算
逆序数是衡量排列"混乱程度"的指标.对于排列 \(j_1j_2...j_n\), 逆序数 \(\tau\) 是指排列中前面的元素大于后面的元素的对数.
例如: - 排列 \(123\) 的逆序数为0(自然序). - 排列 \(321\) 的逆序数为3(3>2, 3>1, 2>1).
行列式的符号
行列式中每一项的符号由排列的奇偶性决定: - 如果排列是偶排列(逆序数为偶数), 符号为正. - 如果排列是奇排列(逆序数为奇数), 符号为负.
具体计算示例
以一个3阶行列式为例: \[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \] 其完全展开式为: \[ a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \] 每一项对应一个排列及其逆序数: - 排列 \(123\), 逆序数为0(偶排列), 符号为正. - 排列 \(231\), 逆序数为2(偶排列), 符号为正. - 排列 \(312\), 逆序数为2(偶排列), 符号为正. - 排列 \(321\), 逆序数为3(奇排列), 符号为负. - 排列 \(213\), 逆序数为1(奇排列), 符号为负. - 排列 \(132\), 逆序数为1(奇排列), 符号为负.
例如: 计算 \(\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\), 逆序数为1(奇排列), 结果为 \(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1\).
化为三角行列式的高阶行列式
将行列式化为上/下三角形式是简化计算的终极武器.核心策略是通过行变换将非零元素"赶"到对角线以下或以上, 最终行列式值=对角线乘积.以下是几个有挑战性的例题的思考过程:
- 例含零元素的三阶行列式 计算行列式: \[
\begin{vmatrix}
0 & 2 & 3 \\\\
4 & 5 & 6 \\\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
\] 解法:
- 处理第一列的零: 交换第一行和第二行(行列式变号): \[ \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \quad (\text{符号暂记为负}) \]
- 消去第三行第一列的7: 第三行减去 \(\frac{7}{4}\) 倍第一行: \[ \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 8 - \frac{35}{4} & 9 - \frac{42}{4} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{2} \end{vmatrix} \]
- 消去第三行第二列的\(-\frac{3}{4}\): 第三行加上 \(\frac{3}{8}\) 倍第二行: \[ \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & -\frac{3}{2} + \frac{9}{8} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & -\frac{3}{8} \end{vmatrix} \]
- 结果: 对角线乘积为 \(4 \times 2 \times (-\frac{3}{8}) = -3\), 最终行列式值为 \(-1 \times (-3) = 3\)(注意第一步交换行的符号修正).
- 四阶行列式(密集元素) 计算行列式: \[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\\\
1 & 2 & 3 & 4 \\\\
1 & 3 & 6 & 10 \\\\
1 & 4 & 10 & 20
\end{vmatrix}
\] 解法:
- 用第一行消去下方所有1:
- 第二行减第一行 → \((0,1,2,3)\)
- 第三行减第一行 → \((0,2,5,9)\)
- 第四行减第一行 → \((0,3,9,19)\) 得到: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 2 & 5 & 9 \\\\ 0 & 3 & 9 & 19 \end{vmatrix} \]
- 处理第二列下方元素:
- 第三行减2倍第二行 → \((0,0,1,3)\)
- 第四行减3倍第二行 → \((0,0,3,10)\) 得到: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 10 \end{vmatrix} \]
- 处理第三列下方元素: 第四行减3倍第三行 → \((0,0,0,1)\) 最终上三角形式: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]
- 结果: 对角线乘积 \(1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1\).
- 用第一行消去下方所有1:
- 含参数的行列式 计算行列式(\(a \neq
b\)): \[
\begin{vmatrix}
a & b & b & b \\\\
b & a & b & b \\\\
b & b & a & b \\\\
b & b & b & a
\end{vmatrix}
\] 解法:
- 所有行减第一行:
- 第二行: \((b-a, a-b, 0, 0)\)
- 第三行: \((b-a, 0, a-b, 0)\)
- 第四行: \((b-a, 0, 0, a-b)\) 得到: \[ \begin{vmatrix} a & b & b & b \\\\ b-a & a-b & 0 & 0 \\\\ b-a & 0 & a-b & 0 \\\\ b-a & 0 & 0 & a-b \end{vmatrix} \]
- 提取公因子: 每行提取 \((a-b)\)(注意符号): \[ (a-b)^3 \begin{vmatrix} a & b & b & b \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]
- 化为三角形式: 将第一列下方的 \(-1\) 消去:
- 第二行加第一行 → \((a-1, b+1, b, b)\)
- 类似操作第三、四行, 最终得对角线元素为 \(a, 1, 1, 1\).
- 结果: 行列式值为 \((a-b)^3 \cdot a\).
- 所有行减第一行:
- 通用化简策略总结
- 优先处理零: 通过行交换将零移到边缘.
- 逐列消元: 从左到右, 用当前列主元消去下方所有元素.
- 分数小心: 尽量避免分数运算, 可用倍数缩放简化.
- 符号检查: 行交换会改变行列式符号, 最后务必修正.
特殊高阶行列式
爪形行列式: 消去法的"修剪术" 定义: 主对角线为 \(a, d, d, \dots, d\), 第一列下方全为 \(c\), 第一行右侧全为 \(b\), 其余位置为零. 示例: \[ \begin{vmatrix} a & b & b & b \\\\ c & d & 0 & 0 \\\\ c & 0 & d & 0 \\\\ c & 0 & 0 & d \end{vmatrix} \]
证明过程:
- 消去下方的 \(c\):
用第一行依次减去第二、三、四行:
- 第二行变为: \((c - c, 0 - 0, d - b, 0 - b) = (0, 0, d, -b)\)
- 第三行变为: \((c - c, 0 - 0, 0 - b, d - b) = (0, 0, -b, d)\)
- 第四行同理(此处操作有误, 需重新思考)
记忆技巧: 爪形行列式像一棵树, 修剪掉多余的“枝条”(非对角线元素)后, 只留下主干(对角线)的乘积！
- 消去下方的 \(c\):
用第一行依次减去第二、三、四行:
范德蒙德行列式: 多项式插值的"唯一性密码" 定义: \[ V = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) \]
证明思路(以三阶为例): 计算三阶范德蒙德行列式: \[ \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\\\ 1 & x_2 & x_2^2 \\\\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} \]
展开计算: 按第一列展开: \[ 1 \cdot \begin{vmatrix}x_2 & x_2^2 \\\\ x_3 & x_3^2\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}x_1 & x_1^2 \\\\ x_3 & x_3^2\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}x_1 & x_1^2 \\\\ x_2 & x_2^2\end{vmatrix} \] 计算二阶行列式: \[ x_2x_3^2 - x_3x_2^2 - (x_1x_3^2 - x_3x_1^2) + (x_1x_2^2 - x_2x_1^2) \] 化简后得: \[ (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) \]
归纳推广:
- 二阶: \(\det(V) = x_2 - x_1\)
- 三阶: \(\det(V) = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)\)
- n阶: 推广为所有 \(x_j - x_i\)(\(i < j\))的乘积, 保证插值多项式唯一存在.
几何意义: 若 \(x_i\) 互不相等, 则行列式非零, 说明多项式插值有唯一解(也可理解为线性方程组有唯一解).若有两个 \(x_i\) 相同, 行列式为零, 插值失败(两点重合无法确定曲线), 方程无解或有无穷多解.
记忆方式: 用笔一次抵住一次行(列)的每一项, 并枚举后面的所有行(列), 若遇到相等的值, 那么行列式值为0
总结: 特殊行列式——数学中的"标准化工具"
爪形行列式通过消去法展现化简的优雅, 范德蒙德行列式用连乘积守护插值的唯一性.它们像数学中的瑞士军刀, 专为特定问题而生.
4.3 为什么非正方形矩阵没有行列式？
思考: 行列式本质是线性变换的体积缩放率.非方阵如 \(2 \times 3\) 矩阵会将三维空间压缩到二维, 导致“体积”概念消失.就像试图测量一张纸的“厚度”——没有意义！
五、克莱姆法则: 用行列式解方程的"魔法公式"
5.1 使用前提与几何直觉
前提条件: 1. 方程组必须是方阵(方程数=未知数个数). 2. 系数矩阵 \(A\) 的行列式 \(\det(A) \neq 0\)(即线性变换未压缩空间维度).
通俗解释: 想象二维空间中两条直线相交于一点, 三维空间中三个平面交于一点.若行列式非零, 说明这些超平面“不共面”, 存在唯一交点.若行列式为零, 则超平面平行或重叠, 解不唯一或无解.
5.2 克莱姆法则的"体积比例"证明
核心思想: 将未知数 \(x_i\) 的解表示为替换列向量后新体积与原体积的比值.
以二维为例: 方程组: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\\\ 4x + 5y = 12 \end{cases} \] 系数矩阵 \(A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 4 & 5\end{pmatrix}\), \(\det(A) = -2 \neq 0\).
求 \(x\): 将第一列替换为常数项 \(\begin{pmatrix}8 \\\\ 12\end{pmatrix}\), 得到 \(A_1 = \begin{pmatrix}8 & 3 \\\\ 12 & 5\end{pmatrix}\). \(\det(A_1) = 8 \times 5 - 3 \times 12 = 4\), 则 \(x = \det(A_1)/\det(A) = -2\).
几何类比: 原行列式 \(\det(A)\) 是基向量 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\) 张成的平行四边形面积, 替换第一列后 \(\det(A_1)\) 是向量 \((8,12)\) 与 \(\mathbf{a}_2\) 张成的面积.\(x\) 的绝对值即为面积缩放比例, 符号表示方向是否翻转.
5.3 齐次方程组的"零解陷阱"
齐次方程组: \(Ax = 0\)(等号右边全为0).
\(\det(A) \neq 0\): 仅有零解. 几何意义: 空间未被压缩, 唯一能映射到原点的是原点本身.
\(\det(A) = 0\): 存在无穷多非零解. 几何意义: 空间被压缩到低维, 存在一条直线或平面上的点都被映射到原点.
示例对比: 1. 非零行列式: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\\\ 4x + 6y = 0 \end{cases} \] 系数矩阵行列式 \(\det(A) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 0\), 存在非零解(如 \(x=3, y=-2\)).
- 零行列式: \[ \begin{cases} 1x + 2y = 0 \\\\ 3x + 4y = 0 \end{cases} \] \(\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0\), 仅有零解 \(x=y=0\).
5.4 克莱姆法则的局限性
缺点: - 计算量大: 每解一个变量需计算一个 \(n\) 阶行列式, 时间复杂度为 \(O(n!)\). - 仅适用于理论分析, 实际计算中多用高斯消元法.
趣味思考: 如果强行用克莱姆法则解 \(10\) 阶方程组, 计算量相当于数清银河系所有星星——你是炒鸡计算机吗就敢这么算
总结: 克莱姆法则——行列式与方程组的"几何桥梁"
克莱姆法则用行列式的比值巧妙链接了线性方程组的解与空间体积变化, 虽然不是给人用的但是计算机用起来就很舒适.
总结: 行列式学习的收获与感悟
通过学习行列式, 我不仅掌握了它的计算方法, 还理解了它背后的几何意义和数学思想.行列式就像一个"体积计算器", 帮助我们理解矩阵对应的线性变换对空间的影响.虽然它的公式看起来复杂, 但只要掌握了展开、性质和计算技巧, 就能轻松应对各种问题.